Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsimptotik Yansızlık

Bir istatistik uzmanı, (0,θ)(0, \theta) aralığında düzgün (üniform) dağılıma sahip bir kitleden nn hacimli bağımsız bir rastgele örneklem çekmiştir. Bu örneklemdeki en büyük değeri veren X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) sıra istatistiğini, bilinmeyen θ\theta parametresi için bir tahmin edici olarak önermiştir.

Bu tahmin edicinin beklenen değeri E(X(n))=nn+1θE(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta olarak hesaplanmıştır.

Tahmin edicinin yan miktarı (bias) ve n→∞n \to \infty iken limit durumu dikkate alındığında, X(n)X_{(n)} tahmin edicisinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Tahmin edici yanlıdır, ancak lim⁡n→∞E(X(n))=θ\lim_{n \to \infty} E(X_{(n)}) = \theta eşitliği sağlandığı için asimptotik olarak yansızdır.Cevap
  2. B
    Tahmin edicinin beklenen değeri parametreyi içerdiğinden her nn hacmi için yansızdır ve bu durum tahmin edicinin her zaman tutarlı olmasını da garanti eder.
  3. C
    Tahmin edicinin yan miktarı −θn+1-\frac{\theta}{n+1} olup bu miktar sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici hem yanlıdır hem de asimptotik yansızlık özelliğini sağlamaz.
  4. D
    Tahmin edici asimptotik olarak yansız olduğundan, sonlu örneklemlerde Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünde yan miktarının karesi sıfır kabul edilir ve MSE yalnızca tahmin edicinin varyansına eşittir.
  5. E
    Limit durumunda beklenen değer θ\theta'ya tam eşitlendiği için tahmin edici katı yansızdır, ancak varyansı sıfıra gitmediği varsayımıyla tutarlı değildir.

Cevap

Tahmin edicinin yanlı olduğu ancak limit durumunda beklenen değerin parametreye eşit olması sebebiyle asimptotik yansız olduğunu belirten ifadedir.
Verilen E(X(n))=nn+1θE(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta eşitliği θ\theta'ya tam eşit olmadığı için tahmin edici sonlu örneklemlerde yanlıdır. Ancak örneklem hacmi büyüdükçe (n→∞n \to \infty) katsayı olan nn+1\frac{n}{n+1} ifadesi 1'e yakınsar ve limit değeri θ\theta olur. Bu durum istatistiksel olarak tahmin edicinin asimptotik yansızlık özelliğini sağladığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin yansızlık koşulunu kontrol et.
E(X(n))=nn+1θ≠θE(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta \neq \theta olduğu görülür.
Bir tahmin edicinin yansız olabilmesi için beklenen değerinin tam olarak tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir. Eşitlik sağlanmadığından tahmin edici yanlıdır.
2
Tahmin edicinin yan miktarını (bias) hesapla.
Yan(X(n))=E(X(n))−θ=nn+1θ−θ=−θn+1Yan(X_{(n)}) = E(X_{(n)}) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = -\frac{\theta}{n+1} elde edilir.
Yan miktarının fonksiyonel formunu bulmak, limit durumunu incelemek için gereklidir.
3
Asimptotik yansızlık için limit durumunu değerlendir.
lim⁡n→∞E(X(n))=lim⁡n→∞nn+1θ=θ\lim_{n \to \infty} E(X_{(n)}) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\theta = \theta veya lim⁡n→∞Yan(X(n))=lim⁡n→∞−θn+1=0\lim_{n \to \infty} Yan(X_{(n)}) = \lim_{n \to \infty} -\frac{\theta}{n+1} = 0 bulunur.
Örneklem hacmi sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) yan miktarının sıfıra yaklaşması (veya beklenen değerin parametreye yaklaşması) tahmin edicinin asimptotik yansız olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru