Bir araştırma enstitüsü, hanehalkı sağlık harcamalarını tahmin etmek için tabakalı rastgel… — KPSS İstatistik

Bir araştırma enstitüsü, hanehalkı sağlık harcamalarını tahmin etmek için tabakalı rastgele örnekleme tasarımı planlamaktadır. Kitle, hanehalkı gelir düzeyine göre "Standart Gelir" (1. Tabaka) ve "Yüksek Gelir" (2. Tabaka) olarak iki tabakaya ayrılmıştır. Araştırmaya ilişkin ön bilgiler şu şekildedir:

- Kitledeki hanehalklarının %90'ı 1. tabakada ( $W_1 = 0,9$ ), %10'u ise 2. tabakadadır ( $W_2 = 0,1$ ).
- Sağlık harcamalarının standart sapması 1. tabakada $S_1 = 2.000$ TL, 2. tabakada ise $S_2 = 8.000$ TL'dir.
- Birim veri derleme maliyeti 1. tabakada $c_1 = 100$ TL iken, 2. tabakada ulaşım ve mülakat zorluğu nedeniyle $c_2 = 400$ TL'dir.
- Veri toplama süreci için ayrılabilecek toplam değişken bütçe $C = 340.000$ TL'dir.

Araştırmacı, bu bütçe kısıtı altında tahmin edicinin varyansını minimum yapacak olan "Optimum Dağıtım" yöntemini kullanacaktır.

Buna göre, 2. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) ile iki tabakanın örnekleme fraksiyonları ( $f_1 = n_1/N_1$ ve $f_2 = n_2/N_2$ ) arasındaki ilişki aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
*(Not: $N_1$ ve $N_2$ tabaka büyüklüklerini göstermektedir.)*

$n_2 = 400$ ve $f_2 = 2f_1$ Cevap
B
$n_2 = 544$ ve $f_2 = 4f_1$
C
$n_2 = 800$ ve $f_2 = 36f_1$
D
$n_2 = 680$ ve $f_2 = 9f_1$
E
$n_2 = 85$ ve $f_2 = 0,25f_1$

Cevap

Optimum dağıtım altında ikinci tabakadan 400 birim seçilmeli (

n_2 = 400

) ve ikinci tabakanın örnekleme fraksiyonu birinci tabakanın iki katı olmalıdır (

f_2 = 2f_1

Doğru yanıt olan seçenekte, maliyet kısıtı altında varyans minimizasyonunu sağlayan Optimum dağıtım formülü tam olarak uygulanmıştır. Toplam 340.000 TL bütçe,

n_h \propto W_h S_h / \sqrt{c_h}

kuralına göre paylaştırıldığında

n_1=1800

n_2=400

bulunur. İkinci tabakanın örneklemdeki oranı, kitledeki yüksek varyansı nedeniyle maliyetine rağmen artmış ve örnekleme fraksiyonu (

n_2/N_2

), birinci tabakanın tam 2 katına çıkmıştır.

Adım Adım Çözüm

Optimum dağıtımda bütçe kısıtı altındaki örneklem hacmi formülünün bileşenlerini hesapla.

Formülün paydasında yer alan

\sum W_k S_k \sqrt{c_k}

değeri hesaplanır:

(0,9 \times 2000 \times \sqrt{100}) + (0,1 \times 8000 \times \sqrt{400}) = (1800 \times 10) + (800 \times 20) = 18.000 + 16.000 = 34.000

Maliyet kısıtlı optimum dağıtımda

n_h

hesabı, tabakanın ağırlıklı standart sapmasının birim maliyetin kareköküne bölümünün, genel toplam maliyet ağırlığına oranlanmasıyla bulunur.

1. ve 2. tabaka için gereken örneklem hacimlerini (

n_1

n_2

) hesapla.

n_h = \frac{C \cdot (W_h S_h / \sqrt{c_h})}{\sum W_k S_k \sqrt{c_k}}

formülü uygulanır.

n_1 = \frac{340.000 \times (1800 / 10)}{34.000} = 10 \times 180 = 1800

n_2 = \frac{340.000 \times (800 / 20)}{34.000} = 10 \times 40 = 400

Sabit bütçe ile varyansı en aza indiren spesifik

n_1

n_2

değerlerine ulaşmak için Lagrange çarpanlarından türetilen esas formül kullanılır.

Örnekleme fraksiyonları (

f_h

) arasındaki oranı bul.

f_1 = n_1/N_1

f_2 = n_2/N_2

'dir. Oranları

W_h

üzerinden kıyaslayabiliriz:

\frac{f_2}{f_1} = \frac{n_2/N_2}{n_1/N_1} = \frac{n_2/W_2}{n_1/W_1} = \frac{400 / 0,1}{1800 / 0,9} = \frac{4000}{2000} = 2

. Sonuç olarak

f_2 = 2f_1

N

bilinmese dahi ağırlıklar (

W_h = N_h/N

) oranında tabaka hacimleri modellenebildiğinden, göreli örnekleme fraksiyonları doğrudan oranlanabilir.

Anahtar Kavram

Optimum Dağıtım (Maliyet Kısıtlı)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru