Bir tarım araştırmasında, arazilerdeki ortalama ürün rekoltesini (y) tahmin etmek amacıyla… — KPSS İstatistik

Bir tarım araştırmasında, arazilerdeki ortalama ürün rekoltesini ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla geniş hacimli bir basit rastgele örneklem planlanmaktadır. Tahminin duyarlılığını artırmak için önceki yıla ait gübre kullanım miktarı ( $x$ ) yardımcı değişken olarak modele dâhil edilmek istenmektedir.

Yapılan ön analizlerde, ilgilenilen değişkene ait değişim katsayısı $C_y = 0.40$ , yardımcı değişkene ait değişim katsayısı $C_x = 0.70$ ve bu iki değişken arasındaki doğrusal korelasyon katsayısı $\rho = 0.60$ olarak hesaplanmıştır.

Geniş örneklem varsayımı altında; kitle ortalamasının tahmini için basit rastgele örnekleme ortalamasının varyansı $V(\bar{y})$ , oran tahminleyicisinin varyansı $V(\bar{y}_R)$ ve doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı $V(\bar{y}_{lr})$ ile gösterildiğine göre, bu üç tahminleyicinin varyansları (etkinlikleri) arasındaki büyüklük sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)$ Cevap
B
$V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})$
C
$V(\bar{y}) < V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}_R)$
D
$V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})$
E
$V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})$

Cevap

Regresyon tahminleyicisinin varyansı en küçük, oran tahminleyicisinin varyansı ise en büyüktür:

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

Verilen probleme göre, regresyon tahminleyicisi aradaki korelasyon katsayısı (

\rho = 0.60

) sıfırdan farklı olduğu için her zaman basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasından daha küçüktür (

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

). Ancak oran tahminleyicisinin BRÖ ortalamasından daha iyi sonuç vermesi için

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulu gereklidir. Sorudaki değerler yerine konduğunda,

\frac{0.70}{2(0.40)} = 0.875

bulunur. Mevcut korelasyon (

0.60

), bu kritik eşiğin (

0.875

) altında kaldığı için oran tahminleyicisi tahminin duyarlılığını bozmuş ve BRÖ ortalamasından daha büyük bir varyansa sahip olmuştur (

V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

). Dolayısıyla doğru sıralama

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

Regresyon tahminleyicisi ile basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasının etkinliklerini karşılaştırın.

\rho = 0.60 \neq 0

olduğu için

V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y})(1 - \rho^2)

bağıntısı gereği

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

olur.

Regresyon tahminleyicisi, korelasyon katsayısı sıfırdan farklı olduğu sürece büyük örneklemlerde BRÖ ortalamasından her zaman daha küçük varyansa sahiptir.

Oran tahminleyicisinin BRÖ ortalamasından daha etkin olması için gereken teorik koşulu kontrol edin.

Koşul:

\rho > \frac{1}{2} \frac{C_x}{C_y}

formülü hesaplanır.

Oran tahminleyicisi her zaman BRÖ'den daha iyi değildir; yalnızca doğrusal ilişkinin orijine yakın geçtiği ve korelasyonun yeterince yüksek olduğu bu koşul sağlandığında varyansı düşürür.

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koyarak durumu sınayın.

\frac{1}{2} \frac{0.70}{0.40} = \frac{1}{2} \times 1.75 = 0.875

. Verilen korelasyon

\rho = 0.60

'dır.

0.60 < 0.875

olduğu için oran tahminleyicisi BRÖ'den daha AZ etkindir (

V(\bar{y}_R) > V(\bar{y})

Korelasyon katsayısı kritik eşiği (0.875) aşamadığı için oran tahminleyicisi kullanmak tahminin duyarlılığını artırmak yerine azaltmıştır.

Elde edilen eşitsizlikleri birleştirerek genel sıralamayı oluşturun.

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

eşitsizlikleri birleştirildiğinde

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

elde edilir.

Bütün tahminleyicilerin etkinlikleri tek bir eşitsizlik zincirinde ifade edilmiştir.

Anahtar Kavram

Oran, Regresyon ve BRÖ Tahminleyicilerinin Etkinlik Karşılaştırması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular