Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/M/1) Tek Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Ulusal Yargı Ağı Bilişim Sistemi (UYAP) teknik destek merkezinde görevli tek bir uzman, kullanıcılardan gelen çağrıları karşılamaktadır. Çağrıların merkeze gelişi saatte ortalama 2020 çağrı olacak şekilde Poisson dağılımına, uzmanın çağrıları yanıtlama süresi ise üstel dağılıma uymaktadır.

Mevcut durumda, sistemde (kuyrukta bekleyenler ve hizmet alan dahil) ortalama 44 çağrı bulunduğu gözlemlenmiştir.

Hizmet kalitesini artırmak isteyen yönetim, yalnızca kuyrukta bekleyen ortalama çağrı sayısının (LqL_q) 0,50,5 olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, yeni hedefe ulaşılabilmesi için uzmanın saatlik hizmet hızında (μ\mu) yapılması gereken artış miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2020
  2. B
    2525
  3. 1515Cevap
  4. D
    3535
  5. E
    4040

Cevap

Uzmanın saatlik hizmet hızındaki gerekli artış miktarı 1515 çağrı/saattir.
Mevcut durumda L=4L = 4 ve λ=20\lambda = 20 kullanıldığında, L=λμ1−λL = \frac{\lambda}{\mu_1 - \lambda} denkleminden μ1=25\mu_1 = 25 bulunur. Hedeflenen durumda Lq=0,5L_q = 0,5 ve λ=20\lambda = 20 kullanıldığında, Lq=λ2μ2(μ2−λ)L_q = \frac{\lambda^2}{\mu_2(\mu_2 - \lambda)} denkleminden 0,5=400μ22−20μ20,5 = \frac{400}{\mu_2^2 - 20\mu_2} eşitliği elde edilir. Bu eşitlik düzenlendiğinde μ22−20μ2−800=0\mu_2^2 - 20\mu_2 - 800 = 0 ikinci dereceden denklemi ortaya çıkar. Denklemin pozitif kökü μ2=40\mu_2 = 40'tır. İstenen artış miktarı 40−25=1540 - 25 = 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Mevcut durumdaki hizmet hızının (μ1\mu_1) bulunması
L=λμ1−λ⇒4=20μ1−20⇒4μ1−80=20⇒4μ1=100⇒μ1=25L = \frac{\lambda}{\mu_1 - \lambda} \Rightarrow 4 = \frac{20}{\mu_1 - 20} \Rightarrow 4\mu_1 - 80 = 20 \Rightarrow 4\mu_1 = 100 \Rightarrow \mu_1 = 25 çağrı/saat
Sistemde bulunan ortalama müşteri sayısı (LL) denklemi kullanılarak mevcut kapasite belirlenir.
2
Hedeflenen yeni hizmet hızı (μ2\mu_2) için kuyruk uzunluğu (LqL_q) denkleminin kurulması
Lq=λ2μ2(μ2−λ)⇒0,5=202μ2(μ2−20)L_q = \frac{\lambda^2}{\mu_2(\mu_2 - \lambda)} \Rightarrow 0,5 = \frac{20^2}{\mu_2(\mu_2 - 20)}
Yönetimin hedefi sadece kuyrukta bekleyenlerin sayısı (LqL_q) olduğundan ilgili M/M/1 formülü kullanılır.
3
İkinci dereceden denklemin çözülmesi
0,5=400μ22−20μ2⇒μ22−20μ2=800⇒μ22−20μ2−800=0⇒(μ2−40)(μ2+20)=0⇒μ2=400,5 = \frac{400}{\mu_2^2 - 20\mu_2} \Rightarrow \mu_2^2 - 20\mu_2 = 800 \Rightarrow \mu_2^2 - 20\mu_2 - 800 = 0 \Rightarrow (\mu_2 - 40)(\mu_2 + 20) = 0 \Rightarrow \mu_2 = 40 çağrı/saat
Matematiksel işlemler tamamlanarak hedeflenen kaliteye ulaşmak için gereken yeni hizmet hızı elde edilir.
4
Hizmet hızındaki artış miktarının hesaplanması
Δμ=μ2−μ1=40−25=15\Delta\mu = \mu_2 - \mu_1 = 40 - 25 = 15 çağrı/saat
Soruda hedeflenen hıza ulaşmak için yapılması gereken değişim (artış) miktarı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

(M/M/1) Modelinde Sistem Uzunluğu (LL) ve Kuyruk Uzunluğu (LqL_q) Performans Ölçütleri
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1) Tek Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru