Examkin

Soru

Zorluk: KolayMoment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen günlük sıcaklık değerleri XX (Celsius) rastgele değişkeni ile ifade edilmekte olup bu değişkenin moment çıkaran fonksiyonu MX(t)M_X(t) olarak belirlenmiştir. İstasyon verileri, uluslararası raporlama standartlarına uyum sağlamak amacıyla Y=1,8X+32Y = 1,8X + 32 dönüşümü kullanılarak Fahrenheit birimine çevrilmektedir. Buna göre, Fahrenheit cinsinden ifade edilen YY rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MY(t)M_Y(t)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e32tMX(1,8t)e^{32t} M_X(1,8t)Cevap
  2. B
    1,8MX(t)+321,8 M_X(t) + 32
  3. C
    e1,8tMX(32t)e^{1,8t} M_X(32t)
  4. D
    MX(1,8t+32)M_X(1,8t + 32)
  5. E
    32e1,8tMX(t)32 e^{1,8t} M_X(t)

Cevap

Yeni değişkenin moment çıkaran fonksiyonu e32tMX(1,8t)e^{32t} M_X(1,8t) ifadesidir.
Moment çıkaran fonksiyonlar için temel özellik MaX+b(t)=ebtMX(at)M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at) şeklindedir. Soruda verilen Y=1,8X+32Y = 1,8X + 32 dönüşümünde a=1,8a = 1,8 ve b=32b = 32 değerleri bu genel formülde yerine yazıldığında, yeni moment çıkaran fonksiyonun üstel teriminde sabit çarpanın (e32te^{32t}), fonksiyonun argümanında ise katsayının (1,8t1,8t) yer aldığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını yazın.
MY(t)=E[etY]M_Y(t) = E[e^{tY}]
MGF, rastgele değişkenin üstel fonksiyonunun beklenen değeridir.
2
Y=1,8X+32Y = 1,8X + 32 dönüşümünü tanımda yerine koyun.
MY(t)=E[et(1,8X+32)]M_Y(t) = E[e^{t(1,8X + 32)}]
Dönüşümü fonksiyona yerleştirerek XX cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Üslü sayıların çarpım özelliğini kullanarak ifadeyi ayrıştırın.
MY(t)=E[e1,8tX⋅e32t]M_Y(t) = E[e^{1,8tX} \cdot e^{32t}]
eA+B=eA⋅eBe^{A+B} = e^A \cdot e^B kuralı uygulanır.
4
e32te^{32t} terimi XX'e bağlı olmadığı için beklenen değer dışına alın.
MY(t)=e32tE[e(1,8t)X]M_Y(t) = e^{32t} E[e^{(1,8t)X}]
Sabit çarpanlar beklenen değerin dışına çıkarılabilir.
5
Beklenen değer kısmını MX(t)M_X(t) tanımıyla ilişkilendirin.
MY(t)=e32tMX(1,8t)M_Y(t) = e^{32t} M_X(1,8t)
E[euX]=MX(u)E[e^{uX}] = M_X(u) olduğu için u=1,8tu = 1,8t alınarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonun Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Daha Fazla Pratik

Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının MGF'sinin, bu değişkenlerin bireysel MGF'lerinin çarpımına eşit olduğu özelliğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi