Examkin

Soru

Zorluk: ZorRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir kamu kurumu, belirli bir altyapı projesinin aylık risk seviyesini stokastik bir süreç ile modellemektedir. Projenin başlangıç risk seviyesi 22 olarak belirlenmiştir. Her ayın sonunda projenin risk seviyesi, birbirinden bağımsız olarak p=35p = \frac{3}{5} olasılıkla 11 birim artmakta (risk yükselmekte) ve q=25q = \frac{2}{5} olasılıkla 11 birim azalmaktadır (risk düşmekte).

Risk seviyesi 00'a ulaştığında proje 'tamamen güvenli' statüsüne geçmekte ve artık bu seviyede kalmaktadır (yutan durum).

Buna göre, bu altyapı projesinin eninde sonunda 'tamamen güvenli' statüsüne geçme (risk seviyesinin 00'a ulaşma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    425\frac{4}{25}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 49\frac{4}{9}Cevap
  4. D
    59\frac{5}{9}
  5. E
    11

Cevap

Projenin eninde sonunda tamamen güvenli statüsüne (0 noktasına) geçme olasılığı 49\frac{4}{9}'dur.
Asimetrik rassal yürüyüşte, sürecin pozitif yöne doğru bir sürüklenmesi (drift) bulunduğu (p>qp > q) durumlarda, başlangıç noktası i>0i > 0 iken 00 numaralı yutan duruma eninde sonunda ulaşma olasılığı (qp)i\left(\frac{q}{p}\right)^i formülü ile hesaplanır. Sorudaki risk parametreleri p=35p = \frac{3}{5}, q=25q = \frac{2}{5} ve başlangıç durumu i=2i = 2 formülde yerine konulduğunda sonucun 49\frac{4}{9} olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Sürecin parametrelerini ve türünü tanımlama.
Bu süreç, p=35p = \frac{3}{5} ve q=25q = \frac{2}{5} olan asimetrik bir rassal yürüyüş (random walk) problemidir. Yutan durum 00, başlangıç durumu ise i=2i = 2'dir.
Kullanılacak yutan duruma ulaşma (absorpsiyon) olasılığı formülünü belirlemek için sürecin niteliklerinin açıkça ortaya konması gerekir.
2
Rassal yürüyüşte yutan duruma ulaşma olasılığı kurallarını hatırlama.
Başlangıç durumu i>0i > 0 olmak üzere, 00 durumuna eninde sonunda ulaşma olasılığı Pi→0P_{i \to 0} şudur: p≤qp \leq q ise olasılık 11'dir. p>qp > q ise olasılık (qp)i\left(\frac{q}{p}\right)^i şeklindedir.
Sistemin sürüklenme (drift) yönüne göre (uzaklaşma veya yaklaşma) doğru olasılık sınır değerini belirlemek için kuralın tespit edilmesi şarttır.
3
Koşulları test etme ve doğru formülü seçme.
p=35p = \frac{3}{5} ve q=25q = \frac{2}{5} olduğundan p>qp > q koşulu sağlanır. Süreç 00'dan uzaklaşma eğilimindedir. Bu nedenle formül (qp)i\left(\frac{q}{p}\right)^i olarak seçilir.
Risk seviyesinin artma ihtimali azalma ihtimalinden yüksek olduğu için projenin güvenli duruma geçme olasılığı 11'den küçüktür.
4
Formülde değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama.
P2→0=(2/53/5)2=(23)2=49P_{2 \to 0} = \left(\frac{2/5}{3/5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} elde edilir.
Belirlenen teorik modelin verilen nicel parametrelerle çözüme ulaştırılması tamamlanır.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüşte (Random Walk) Yutan Duruma (Absorbing State) Ulaşma Olasılığı
Bu soruyu puanla

Konular

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

Bu konudan daha fazla soru