Examkin

Soru

Zorluk: KolayRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir lojistik deposunda kullanılan insansız taşıma aracı, düz bir hat üzerinde belirlenen başlangıç noktasından (X0=0X_0 = 0) harekete geçmektedir. Bu araç, her bir zaman aralığında birbirinden bağımsız olarak p=0,7p = 0,7 olasılıkla bir birim ileri (+1+1) ve q=0,3q = 0,3 olasılıkla bir birim geri (−1-1) gitmektedir. Buna göre, aracın 100100 adım sonundaki konumunun beklenen değeri (E[X100]E[X_{100}]) kaçtır?

  1. A
    100100
  2. B
    7070
  3. 4040Cevap
  4. D
    3030
  5. E
    00

Cevap

Aracın 100100 adım sonundaki konumunun beklenen değeri 4040 birimdir.
Rassal yürüyüş modelinde aracın nn adım sonundaki konumu Xn=∑i=1nZiX_n = \sum_{i=1}^{n} Z_i olarak ifade edilir. Burada ZiZ_i her adımda alınan değerdir. E[Zi]=p⋅(1)+q⋅(−1)=0,7−0,3=0,4E[Z_i] = p \cdot (1) + q \cdot (-1) = 0,7 - 0,3 = 0,4 olarak hesaplanır. Beklenen değerin toplam özelliği gereği E[X100]=100⋅0,4=40E[X_{100}] = 100 \cdot 0,4 = 40 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir adımdaki yer değiştirme miktarı için beklenen değeri hesaplayın.
E[X1]=(1×0,7)+(−1×0,3)=0,7−0,3=0,4E[X_1] = (1 \times 0,7) + (-1 \times 0,3) = 0,7 - 0,3 = 0,4
Rassal yürüyüşte her adım bir bağımsız denemedir; ileri gidiş +1+1 ve geri gidiş −1-1 değerini alır.
2
Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak 100100 adım sonundaki toplam yer değiştirmeyi bulun.
E[X100]=100×E[X1]=100×0,4=40E[X_{100}] = 100 \times E[X_1] = 100 \times 0,4 = 40
Bağımsız ve özdeş dağılımlı adımların toplamının beklenen değeri, adım sayısı ile tek bir adımın beklenen değerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Asimetrik rassal yürüyüşte beklenen konum (drift), adım sayısı ile her bir adımdaki net olasılık farkının (p−qp-q) çarpımıdır.

Daha Fazla Pratik

Aynı senaryoda aracın konumunun varyansını (Var[X100]Var[X_{100}]) hesaplayarak stokastik süreçlerdeki yayılımı inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

Bu konudan daha fazla soru