Rassal Yürüyüş (Random Walk) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kumarbazın başlangıçta 2 TL'si vardır. Kumarbaz her adımda birbirinden bağımsız olarak $p = 0,4$ olasılıkla 1 TL kazanmakta ve $q = 0,6$ olasılıkla 1 TL kaybetmektedir.

Oyun, kumarbazın parası 4 TL'ye ulaştığında (hedefe varma) veya 0 TL'ye düştüğünde (iflas) sona ermektedir.

Buna göre, kumarbazın iflas etmeden önce 4 TL'ye ulaşma olasılığı kaçtır?

\frac{9}{13}

\frac{1}{2}

\frac{4}{9}

\frac{4}{13}

\frac{4}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{13}$

Cevap

Kumarbazın 4 TL'ye ulaşma olasılığı

\frac{4}{13}

olarak hesaplanır.

Kumarbazın iflası (Gambler's Ruin) probleminde asimetrik rassal yürüyüş söz konusudur. Sınır koşulları

P_0=0

ve

P_4=1

kullanılarak kurulan

P_i = 0,4P_{i+1} + 0,6P_{i-1}

lineer denklem sistemi çözüldüğünde

P_2 = 4/13

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Durum uzayını ve geçiş olasılıklarını tanımlama

Başlangıç durumu

i=2

, hedef

M=4

, iflas

0

. Kazanma olasılığı

p=0,4

, kaybetme olasılığı

q=0,6

.

Problemi bir rassal yürüyüş (kumarbazın iflası) modeli olarak ifade etmek için.

2

P_i

yutulma olasılıkları için fark denklemini kurma

Her

i

durumu için

P_i = p P_{i+1} + q P_{i-1}

denklemi elde edilir. Sınır koşulları:

P_0 = 0

ve

P_4 = 1

.

Herhangi bir

i

durumundan hedefe ulaşma olasılığının, bir sonraki adımdaki olası durumlara bağlı koşullu olasılıkların toplamı olması.

3

i=1, 2, 3

için geçiş denklemlerini yazma

P_1 = 0,4 P_2 + 0,6(0) = 0,4 P_2

P_2 = 0,4 P_3 + 0,6 P_1

P_3 = 0,4(1) + 0,6 P_2 = 0,4 + 0,6 P_2

Bilinmeyen

P_2

'yi bulabilmek amacıyla çözülebilir bir denklem sistemi oluşturmak.

4

Denklem sistemini çözerek

P_2

'yi hesaplama

P_1

ve

P_3

'ü

P_2

denkleminde yerine koyarsak:

P_2 = 0,4(0,4 + 0,6 P_2) + 0,6(0,4 P_2) = 0,16 + 0,48 P_2

. Buradan

0,52 P_2 = 0,16

ve

P_2 = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}

bulunur.

Başlangıçtaki parası 2 TL olan kumarbazın hedefe ulaşma olasılığını matematiksel olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Rassal Yürüyüşte Yutulma Olasılıkları (Gambler's Ruin / Kumarbazın İflası)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak Kumarbazın İflası (Gambler's Ruin) genel formülü kullanılabilir:

p \neq q

için hedefe ulaşma olasılığı

P_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^M}

şeklindedir. Burada

i=2

,

M=4

,

p=0,4

ve

q=0,6

değerleri yerine konulduğunda:

P_2 = \frac{1 - (1,5)^2}{1 - (1,5)^4} = \frac{1 - 2,25}{1 - 5,0625} = \frac{-1,25}{-4,0625} = \frac{4}{13}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir risk analizi modelinde, bir finansal göstergenin değeri her işlem gününün sonunda birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{1}{3}$ olasılıkla $1$ birim artmakta, $q = \frac{2}{3}$ olasılıkla $1$ birim azalmaktadır. Göstergenin bugünkü değeri $1$ birimdir. Gösterge değeri $0$ birime düştüğünde sistem alarm vermekte, $4$ birime ulaştığında ise hedef seviyeye ulaşıldığı kabul edilmektedir. İki durumda da izleme süreci sona ermektedir.

Buna göre, bu finansal göstergenin sistem alarm vermeden önce hedef seviyeye ulaşma olasılığı kaçtır?

\frac{8}{15}

\frac{1}{4}

\frac{1}{15}

\frac{14}{15}

\frac{1}{27}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{15}$

Cevap

Finansal göstergenin alarm vermeden önce hedef seviyeye ulaşma olasılığı

\frac{1}{15}

'tir.

Asimetrik rassal yürüyüş modelinde

i

noktasından başlayıp

0

'dan önce

N

noktasına ulaşma olasılığı

P_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}

formülü ile bulunur. Verilen problemde başlangıç durumu

i=1

, üst sınır

N=4

,

p=1/3

ve

q=2/3

olarak verilmiştir. Geçiş oranı

r = q/p = (2/3)/(1/3) = 2

olur. Formülde yerine yazıldığında

P_1 = \frac{1 - 2^1}{1 - 2^4} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi asimetrik rassal yürüyüş (kumarbazın iflası) modeli olarak parametrelerine ayırın.

Başlangıç durumu

i=1

, alt yutan durum

0

, üst yutan durum

N=4

, sağa gitme (artma) olasılığı

p=1/3

, sola gitme (azalma) olasılığı

q=2/3

.

Sürecin sınır ve geçiş parametrelerinin doğru tanımlanması, uygun olasılık formülünün seçilmesi için gereklidir.

2

Asimetrik yürüyüş için oran parametresi olan

r = q/p

değerini hesaplayın.

r = \frac{2/3}{1/3} = 2

Durumlar arası geçiş asimetrisini modele yansıtmak için q/p oranı kullanılır.

3

Alt yutan durumdan (0) önce üst yutan duruma (N) ulaşma olasılığı formülünü uygulayın.

P_1 = \frac{1 - r^i}{1 - r^N} = \frac{1 - 2^1}{1 - 2^4}

Bu formül, iki yutan durumu olan asimetrik rassal yürüyüşlerde üst sınıra daha önce ulaşma olasılığını verir.

4

Matematiksel işlemi sonuçlandırın.

P_1 = \frac{1 - 2}{1 - 16} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}

Kesirli ifadelerin sadeleştirilmesiyle nihai hedef olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüş (Gambler's Ruin)

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumu, belirli bir altyapı projesinin aylık risk seviyesini stokastik bir süreç ile modellemektedir. Projenin başlangıç risk seviyesi $2$ olarak belirlenmiştir. Her ayın sonunda projenin risk seviyesi, birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{3}{5}$ olasılıkla $1$ birim artmakta (risk yükselmekte) ve $q = \frac{2}{5}$ olasılıkla $1$ birim azalmaktadır (risk düşmekte).

Risk seviyesi $0$ 'a ulaştığında proje 'tamamen güvenli' statüsüne geçmekte ve artık bu seviyede kalmaktadır (yutan durum).

Buna göre, bu altyapı projesinin eninde sonunda 'tamamen güvenli' statüsüne geçme (risk seviyesinin $0$ 'a ulaşma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{25}

\frac{2}{3}

\frac{4}{9}

\frac{5}{9}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{9}$

Cevap

Projenin eninde sonunda tamamen güvenli statüsüne (0 noktasına) geçme olasılığı

\frac{4}{9}

'dur.

Asimetrik rassal yürüyüşte, sürecin pozitif yöne doğru bir sürüklenmesi (drift) bulunduğu (

p > q

) durumlarda, başlangıç noktası

i > 0

iken

0

numaralı yutan duruma eninde sonunda ulaşma olasılığı

\left(\frac{q}{p}\right)^i

formülü ile hesaplanır. Sorudaki risk parametreleri

p = \frac{3}{5}

,

q = \frac{2}{5}

ve başlangıç durumu

i = 2

formülde yerine konulduğunda sonucun

\frac{4}{9}

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin parametrelerini ve türünü tanımlama.

Bu süreç,

p = \frac{3}{5}

ve

q = \frac{2}{5}

olan asimetrik bir rassal yürüyüş (random walk) problemidir. Yutan durum

0

, başlangıç durumu ise

i = 2

'dir.

Kullanılacak yutan duruma ulaşma (absorpsiyon) olasılığı formülünü belirlemek için sürecin niteliklerinin açıkça ortaya konması gerekir.

2

Rassal yürüyüşte yutan duruma ulaşma olasılığı kurallarını hatırlama.

Başlangıç durumu

i > 0

olmak üzere,

0

durumuna eninde sonunda ulaşma olasılığı

P_{i \to 0}

şudur:

p \leq q

ise olasılık

1

'dir.

p > q

ise olasılık

\left(\frac{q}{p}\right)^i

şeklindedir.

Sistemin sürüklenme (drift) yönüne göre (uzaklaşma veya yaklaşma) doğru olasılık sınır değerini belirlemek için kuralın tespit edilmesi şarttır.

3

Koşulları test etme ve doğru formülü seçme.

p = \frac{3}{5}

ve

q = \frac{2}{5}

olduğundan

p > q

koşulu sağlanır. Süreç

0

'dan uzaklaşma eğilimindedir. Bu nedenle formül

\left(\frac{q}{p}\right)^i

olarak seçilir.

Risk seviyesinin artma ihtimali azalma ihtimalinden yüksek olduğu için projenin güvenli duruma geçme olasılığı

1

'den küçüktür.

4

Formülde değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama.

P_{2 \to 0} = \left(\frac{2/5}{3/5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

elde edilir.

Belirlenen teorik modelin verilen nicel parametrelerle çözüme ulaştırılması tamamlanır.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüşte (Random Walk) Yutan Duruma (Absorbing State) Ulaşma Olasılığı

Soru 4Soru →

Bir nesne, sayı doğrusu üzerinde başlangıçta $0$ noktasında bulunmaktadır. Bu nesne her bir adımda, birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{2}{5}$ olasılıkla sağa ( $+1$ birim) ve $q = \frac{3}{5}$ olasılıkla sola ( $-1$ birim) hareket etmektedir. Buna göre, bu nesnenin $3$ adım sonunda $1$ noktasında bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{36}{125}

\frac{12}{125}

\frac{54}{125}

\frac{8}{125}

\frac{27}{125}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{36}{125}$

Cevap

Nesnenin 3 adım sonunda 1 noktasında bulunma olasılığı

\frac{36}{125}

'tir.

Nesnenin 3 adımda 1 noktasına ulaşabilmesi için 2 kez sağa (+1) ve 1 kez sola (-1) gitmesi gerekir (

2-1=1

). Bu adımların diziliş sayısı

\binom{3}{2} = 3

olduğundan, toplam olasılık

3 \times (\frac{2}{5})^2 \times (\frac{3}{5}) = \frac{36}{125}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Gerekli sağa ve sola adım sayılarını belirleyin.

2 sağ (

+1

) ve 1 sol (

-1

) adım.

3 adım sonunda toplam yer değiştirmenin

1

olması için:

k(1) + (3-k)(-1) = 1 \Rightarrow 2k - 3 = 1 \Rightarrow k=2

olmalıdır.

2

Olasılığı hesaplamak için binom formülünü uygulayın.

P(S_3 = 1) = \binom{3}{2} p^2 q^1 = 3 \times (\frac{2}{5})^2 \times (\frac{3}{5})^1

Adımlar bağımsız olduğu için 2 sağ ve 1 sol adımın farklı sıralanışları

\binom{3}{2}

kadardır.

3

Matematiksel işlemi sonuçlandırın.

3 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}

Kesirli ifadelerin çarpımı sonucunda toplam olasılığa ulaşılır.

Anahtar Kavram

Basit Rassal Yürüyüşte Belirli Bir Adım Sonunda Konum Olasılığı

Soru 5Soru →

Bir lojistik deposunda kullanılan insansız taşıma aracı, düz bir hat üzerinde belirlenen başlangıç noktasından ( $X_0 = 0$ ) harekete geçmektedir. Bu araç, her bir zaman aralığında birbirinden bağımsız olarak $p = 0,7$ olasılıkla bir birim ileri ( $+1$ ) ve $q = 0,3$ olasılıkla bir birim geri ( $-1$ ) gitmektedir. Buna göre, aracın $100$ adım sonundaki konumunun beklenen değeri ( $E[X_{100}]$ ) kaçtır?

100

70

40

30

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $40$

Cevap

Aracın

100

adım sonundaki konumunun beklenen değeri

40

birimdir.

Rassal yürüyüş modelinde aracın

n

adım sonundaki konumu

X_n = \sum_{i=1}^{n} Z_i

olarak ifade edilir. Burada

Z_i

her adımda alınan değerdir.

E[Z_i] = p \cdot (1) + q \cdot (-1) = 0,7 - 0,3 = 0,4

olarak hesaplanır. Beklenen değerin toplam özelliği gereği

E[X_{100}] = 100 \cdot 0,4 = 40

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir adımdaki yer değiştirme miktarı için beklenen değeri hesaplayın.

E[X_1] = (1 \times 0,7) + (-1 \times 0,3) = 0,7 - 0,3 = 0,4

Rassal yürüyüşte her adım bir bağımsız denemedir; ileri gidiş

+1

ve geri gidiş

-1

değerini alır.

2

Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak

100

adım sonundaki toplam yer değiştirmeyi bulun.

E[X_{100}] = 100 \times E[X_1] = 100 \times 0,4 = 40

Bağımsız ve özdeş dağılımlı adımların toplamının beklenen değeri, adım sayısı ile tek bir adımın beklenen değerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Asimetrik rassal yürüyüşte beklenen konum (drift), adım sayısı ile her bir adımdaki net olasılık farkının (

p-q

) çarpımıdır.

Daha Fazla Pratik

Aynı senaryoda aracın konumunun varyansını (

Var[X_{100}]

) hesaplayarak stokastik süreçlerdeki yayılımı inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumunun bütçe dengeleme analizinde, birim maliyetlerdeki günlük değişimler basit bir rassal yürüyüş süreci olarak ele alınmaktadır. Başlangıçta dengede ( $X_0 = 0$ ) kabul edilen bu süreçte, maliyetin her gün birbirinden bağımsız olarak $p = 0,60$ olasılıkla $1$ birim artacağı, $q = 0,40$ olasılıkla ise $1$ birim azalacağı öngörülmektedir. Buna göre, $5$ gün sonunda maliyetin beklenen değeri kaç birimdir?

1

3

0

0,2

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

5 gün sonundaki maliyetin beklenen değeri 1 birimdir.

Basit bir rassal yürüyüşte

n

adım sonundaki beklenen konum

E[X_n] = n(p-q)

formülü ile bulunur. Soruda verilen

n=5, p=0,60

ve

q=0,40

değerleri yerine konulduğunda

5 \times (0,60 - 0,40) = 5 \times 0,20 = 1

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir adımdaki (günlük) beklenen değişimi hesaplayın.

E[Y_i] = (1 \times p) + (-1 \times q) = (1 \times 0,60) + (-1 \times 0,40) = 0,20

Rassal yürüyüşün her bir adımı, artış ve azalış olasılıklarının ağırlıklı ortalaması olan bir beklenen değere sahiptir.

2

n

adım sonundaki toplam beklenen değeri hesaplamak için tek adımın beklenen değerini adım sayısı ile çarpın.

E[X_5] = 5 \times E[Y_i] = 5 \times 0,20 = 1

Beklenen değerin doğrusallığı özelliği gereği, bağımsız adımların toplamının beklenen değeri, adımların beklenen değerlerinin toplamına eşittir (

E[\sum Y_i] = n \times E[Y_i]

).

Anahtar Kavram

Basit Rassal Yürüyüşte Beklenen Değer

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumundaki operasyonel verimlilik puanı, başlangıçta $0$ olarak belirlenmiştir. Bu puan, her ay yapılan değerlendirmede birbirinden bağımsız olarak $0,7$ olasılıkla $+1$ birim artmakta, $0,3$ olasılıkla ise $-1$ birim azalmaktadır. Buna göre, $10$ ayın sonunda verimlilik puanının beklenen değeri kaçtır?

0,0

0,4

4,0

7,0

10,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,0

Cevap

Operasyonel verimlilik puanının 10 ay sonundaki beklenen değeri 4'tür.

Rassal yürüyüşte

n

adım sonundaki konumun beklenen değeri

E[X_n] = n(p - q)

formülü ile hesaplanır. Burada

n=10

,

p=0,7

ve

q=0,3

olduğundan sonuç

10 \times (0,7 - 0,3) = 4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir adımdaki (aydaki) değişimin beklenen değerini hesaplayın.

E[Z] = (1 \times 0,7) + (-1 \times 0,3) = 0,4

Rassal yürüyüşün her bir adımı bağımsız ve özdeş dağılıma sahip bir rastgele değişkendir.

2

10

adım (ay) sonundaki toplam konumun beklenen değerini hesaplayın.

E[X_{10}] = 10 \times E[Z] = 10 \times 0,4 = 4

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının beklenen değeri, beklenen değerlerin toplamına eşittir (

E[X_n] = n \times E[Z]

).

Anahtar Kavram

Basit Asimetrik Rassal Yürüyüşün Beklenen Değeri

Soru 8Soru →

Bir finans kurumunda geliştirilen kredi risk takip sisteminde, bir müşterinin risk puanı başlangıçta $100$ olarak belirlenmiştir. Bu puan, her işlem döneminde birbirinden bağımsız olarak $p = 0,7$ olasılıkla $1$ puan artmakta veya $q = 0,3$ olasılıkla $1$ puan azalmaktadır. Bu süreç basit bir rassal yürüyüş olarak modellendiğine göre, $10$ işlem dönemi sonunda müşterinin beklenen risk puanı kaçtır?

100

101

104

107

110

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 104

Cevap

Müşterinin 10 işlem dönemi sonundaki beklenen risk puanı 104'tür.

Beklenen değerin doğrusallık özelliği gereği, 10 dönem sonundaki beklenen puan, başlangıç puanı ile her dönemdeki beklenen değişimlerin toplamına eşittir. Her bir dönemde beklenen değişim

0,7 - 0,3 = 0,4

olduğundan, 10 dönemde toplam

4

puanlık bir artış beklenir ve bu da

100 + 4 = 104

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin tanımlanması

X_0 = 100

,

n = 10

,

p = 0,7

,

q = 0,3

Problemdeki verilerin rassal yürüyüş modeline uygun şekilde sınıflandırılması gerekir.

2

Her bir adımdaki beklenen değişim miktarının (

E[Z]

) hesaplanması

E[Z] = (1 \times p) + (-1 \times q) = 0,7 - 0,3 = 0,4

Rassal yürüyüşün her bir adımda hangi yöne ne kadar eğilim gösterdiğini belirlemek için gereklidir.

3

Toplam beklenen değerin (

E[X_{10}]

) hesaplanması

E[X_{10}] = X_0 + n \times E[Z] = 100 + 10 \times 0,4 = 104

Doğrusal özellik kullanılarak başlangıç durumuna toplam beklenen değişimin eklenmesiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Basit bir rassal yürüyüşte

n

adım sonundaki beklenen konum

E[X_n] = X_0 + n(p - q)

formülü ile hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Süreci

Y

başarı sayısı (artış) olan bir Binom dağılımı (

n=10, p=0,7

) olarak düşünürsek; toplam puan

X_{10} = 100 + Y - (10 - Y) = 100 + 2Y - 10

olur.

E[Y] = 10 \times 0,7 = 7

olduğu bilindiğine göre,

E[X_{10}] = 100 + 2(7) - 10 = 104

olarak da hesaplanabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Bir baraj gölündeki su seviyesinin günlük değişimi basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Başlangıçta su seviyesi referans noktası olan $0$ ( $X_0 = 0$ ) seviyesinde kabul edilmiştir. Her gün su seviyesinin $1$ birim yükselme olasılığı $p = 0,6$ ve $1$ birim alçalma olasılığı $q = 0,4$ olup, günlük değişimler birbirinden bağımsızdır. Buna göre, $10$ günün sonunda su seviyesinin beklenen değeri ( $E[X_{10}]$ ) kaçtır?

2

6

4

0,2

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

10 günün sonunda su seviyesinin beklenen değeri 2 birimdir.

Rassal yürüyüşte beklenen değer, adım sayısı ile bir adımdaki ortalama değişimin çarpımıdır. Bir adımda

+1

olasılığı

0,6

ve

-1

olasılığı

0,4

olduğundan, bir adımdaki ortalama değişim

0,6 - 0,4 = 0,2

olur.

10

adım için bu değer

10 \times 0,2 = 2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir adımdaki değişim miktarının beklenen değerini hesaplayınız.

E[Z_i] = (1 \times 0,6) + (-1 \times 0,4) = 0,2

Rassal yürüyüşte her adım bağımsız ve aynı dağılımlı birer rastgele değişkendir.

2

Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak 10 adım sonundaki toplam beklenen değeri bulunuz.

E[X_{10}] = E[\sum_{i=1}^{10} Z_i] = 10 \times E[Z_i] = 10 \times 0,2 = 2

n adım sonraki toplam konum, başlangıç konumu ile her bir adımdaki değişimlerin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Basit Rassal Yürüyüşte Beklenen Değer

Daha Fazla Pratik

Eğer p = q = 0,5 (simetrik rassal yürüyüş) olsaydı, n adım sonundaki beklenen değerin her zaman 0 olacağını unutmayınız.

Alternatif Yöntem

Süreci bir Markov Zinciri olarak düşünürsek, her adımda beklenen değer bir önceki adımın beklenen değerine (p-q) eklenmesiyle bulunur: E[X_n] = E[X_{n-1}] + (p-q). Başlangıç 0 olduğu için E[X_{10}] = 10(0,6 - 0,4) olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir üretim tesisinde üretilen parçaların standart boyuttan olan sapmaları basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Her bir üretim adımında parçanın boyutu, standart değerden bağımsız olarak $0,7$ olasılıkla $+1$ birim, $0,3$ olasılıkla ise $-1$ birim sapma göstermektedir. Başlangıçta sapma miktarı $0$ birimdir.

Buna göre, $50$ üretim adımı sonunda toplam sapma miktarının beklenen değeri kaç birimdir?

10

15

20

35

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

50 üretim adımı sonunda toplam sapmanın beklenen değeri 20 birimdir.

Basit bir rassal yürüyüşte, sürecin

n

adım sonundaki beklenen konumu

E[X_n] = n(p-q)

formülü ile hesaplanır. Burada

p

ileri (+1),

q

ise geri (-1) gitme olasılığıdır. Sorumuzda

n=50

,

p=0,7

ve

q=0,3

olarak verilmiştir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında

50 \times (0,7 - 0,3) = 50 \times 0,4 = 20

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sürece ait temel parametrelerin belirlenmesi

n = 50

,

p = 0,7

,

q = 0,3

Rassal yürüyüşte adım sayısı (

n

), ileri adım olasılığı (

p

) ve geri adım olasılığı (

q

) hesaplamanın temel bileşenleridir.

2

Beklenen değer formülünün hatırlanması

E[X_n] = n(p - q)

Birinci boyutta, başlangıç noktası sıfır olan basit bir rassal yürüyüşte

n

. adımdaki net konumun beklenen değeri, adım sayısı ile net değişim oranının çarpımına eşittir.

3

Sayısal hesaplamanın yapılması

50 \times (0,7 - 0,3) = 50 \times 0,4 = 20

Parametreler formülde yerine koyularak beklenen konum değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Rassal Yürüyüşte Beklenen Değer (Expected Value in Random Walk)

Daha Fazla Pratik

Aynı parametrelerle sürecin 50 adım sonundaki varyansını hesaplayarak dağılımın yayılımını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumundaki evrak kayıt sisteminde, bekleyen evrak sayısındaki saatlik değişim basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Sisteme her bir saatlik dilimde $0,60$ olasılıkla yeni bir evrak eklenmekte ( $+1$ ), $0,40$ olasılıkla ise mevcut evraklardan biri işleme alınarak sistemden çıkarılmaktadır ( $-1$ ). Başlangıçta sistemde bekleyen evrak bulunmadığına ( $S_0 = 0$ ) göre, $10$ saat sonunda sistemde bekleyen evrak sayısının beklenen değeri kaçtır?

0

2

4

6

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

10 saat sonundaki beklenen değer 2'dir.

Rassal yürüyüş sürecinde

n

adım sonundaki beklenen değer

E[S_n] = n(p - q)

formülü ile hesaplanır. Burada

p=0,60

ve

q=0,40

olduğundan, net değişim her adımda ortalama

0,20

birimdir.

10

adım sonunda bu değer

2

birimlik bir artışa karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin tanımlanması

n = 10

,

p = 0,60

(artış),

q = 0,40

(azalış)

Rassal yürüyüş formülünde kullanılacak temel değerleri belirlemek gerekir.

2

Beklenen değer formülünün uygulanması

E[S_n] = n(p - q)

Basit bir rassal yürüyüşte

n

adım sonundaki konumun beklenen değeri, adım sayısı ile net değişim olasılığının çarpımıdır.

3

Hesaplamanın yapılması

10 \times (0,60 - 0,40) = 10 \times 0,20 = 2

Verilen değerler formülde yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit Rassal Yürüyüşte Beklenen Değer

İpuçları

1

Rassal yürüyüşte her adımın beklenen değerini bularak toplam adımla çarpın.

2

Bir adımın beklenen değeri

1 \times p + (-1) \times q

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Aynı parametrelerle sürecin varyansını (

Var(S_{10})

) hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Bir yapay zeka uygulamasındaki genetik algoritma optimizasyon sürecinde, bir modelin uygunluk (fitness) skoru başlangıçta $2$ birim olarak belirlenmiştir. Her bir jenerasyon (adım) sonucunda bu skor, birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{1}{3}$ olasılıkla $1$ birim artmakta, $q = \frac{2}{3}$ olasılıkla ise $1$ birim azalmaktadır.

Algoritmanın kurallarına göre; modelin uygunluk skoru $0$ 'a düştüğünde süreç 'başarısız' kabul edilerek iptal edilmekte, skor $5$ 'e ulaştığında ise 'başarılı' kabul edilerek optimizasyon sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu optimizasyon sürecinin başarılı bir şekilde sonlanma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{27}

\frac{3}{31}

\frac{2}{5}

\frac{24}{31}

\frac{28}{31}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{31}$

Cevap

Optimizasyon sürecinin başarılı sonlanma olasılığı

\frac{3}{31}

'dir.

Bu problem, klasik bir 'Kumarbazın İflası' (Gambler's Ruin) problemidir. İstenen durum, asimetrik bir rassal yürüyüşte sürecin alt yutucu sınır olan 0'a ulaşmadan önce üst sınır olan 5'e ulaşma olasılığıdır. İleri gitme olasılığı

p \neq q

olduğunda hedef

N

noktasına ulaşma olasılığı

P = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}

formülüyle bulunur. Soru verilerinde başlangıç noktası

i=2

, hedef

N=5

, yukarı adım

p=1/3

ve aşağı adım

q=2/3

'tür. Değerler yerine konulduğunda

\frac{1 - 2^2}{1 - 2^5} = \frac{-3}{-31} = \frac{3}{31}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin tipini ve parametrelerini belirle.

Problem asimetrik bir 'Kumarbazın İflası' (Gambler's Ruin) problemidir. Başlangıç durumu

i=2

, üst sınır (başarı)

N=5

, alt sınır (başarısızlık)

0

'dır. Olasılıklar

p=1/3

ve

q=2/3

'tür.

Rassal yürüyüşte sınır olasılıklarını hesaplamak için doğru formülü seçmek gerekir.

2

Artma ve azalma olasılıklarının oranını (

q/p

) hesapla.

\frac{q}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2

bulunur.

Asimetrik rassal yürüyüş absorpsiyon formülü bu oran üzerine kuruludur.

3

Asimetrik rassal yürüyüş formülünü uygula.

Üst sınıra ulaşma olasılığı formülü:

P_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}

p \neq q

olduğundan dolayı yutucu sınırlara ulaşma olasılığı bu karakteristik denklem çözümüyle bulunur.

4

Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesapla.

P_2 = \frac{1 - 2^2}{1 - 2^5} = \frac{1 - 4}{1 - 32} = \frac{-3}{-31} = \frac{3}{31}

Başlangıç durumundan hedefe ulaşma olasılığının matematiksel olarak elde edilmesidir.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüşte Absorpsiyon (Yutulma) Olasılıkları

Tahmini Süre:1m 30s

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar