Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Bir eğitim istatistikçisi, öğrencilerin bilişsel yeteneklerini ölçen XX veri seti (p=5p=5 farklı test skoru) ile akademik başarılarını ölçen YY veri seti (q=2q=2 farklı performans göstergesi) arasındaki ilişkiyi Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) kullanarak incelemektedir.

Analiz sonucunda elde edilen kanonik köklere (özdeğerlere) ait değerler sırasıyla λ1=0,64\lambda_1 = 0,64 ve λ2=0,25\lambda_2 = 0,25 olarak hesaplanmıştır.

Kanonik korelasyon analizinin temel özellikleri ve elde edilen bu değerler dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Birinci kanonik değişken çifti (U1U_1 ve V1V_1) arasındaki korelasyon katsayısı 0,800,80'dir ve U1U_1 ile V2V_2 arasındaki korelasyon değeri 00'dır.Cevap
  2. B
    Birinci kanonik değişken çifti arasındaki korelasyon katsayısı 0,640,64'tür ve bu değer YY setindeki değişkenlerin varyansının ne kadarının XX seti tarafından açıklandığını gösterir.
  3. C
    Analiz sonucunda en fazla 55 adet kanonik değişken çifti tanımlanabilir ve toplam varyansın %64\%64'ü birinci kanonik değişken çifti tarafından açıklanmaktadır.
  4. D
    Kanonik değişkenleri oluşturmak için kullanılan kanonik ağırlıklar, orijinal değişkenler ile kanonik değişkenler arasındaki korelasyonu doğrudan verir ve bu değer λ1=0,64\lambda_1 = 0,64'tür.

Cevap

Birinci kanonik değişken çifti (U1 ve V1) arasındaki korelasyon katsayısı 0,80'dir ve çapraz kanonik değişkenler (U1 ile V2) arasındaki korelasyon sıfırdır.
Kanonik korelasyon analizinde (KKA), kanonik korelasyon katsayısı (RcR_c), ilgili özdeğerin (λ\lambda) karekökü alınarak bulunur (Rc1=0,64=0,80R_{c1} = \sqrt{0,64} = 0,80). KKA'nın en önemli matematiksel özelliklerinden biri, art arda elde edilen kanonik değişken çiftlerinin birbirine dik (ortogonal) olmasıdır. Bu durum, farklı sıralara sahip kanonik değişkenler (örneğin birinci XX kanonik değişkeni U1U_1 ile ikinci YY kanonik değişkeni V2V_2) arasındaki korelasyonun tam olarak 00 olmasını gerektirir. Bu bilgiler ışığında, U1U_1 ile V1V_1 arasındaki ilişkinin 0,800,80 ve çapraz çiftler (U1U_1 ile V2V_2) arasındaki ilişkinin 00 olduğunu belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kanonik korelasyon katsayılarının (RcR_c) hesaplanması.
Birinci kanonik korelasyon Rc1=λ1=0,64=0,80R_{c1} = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{0,64} = 0,80 ve ikinci kanonik korelasyon Rc2=λ2=0,25=0,50R_{c2} = \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{0,25} = 0,50 olarak bulunur.
Kanonik korelasyon analizinde bir çiftin korelasyon katsayısı, ilgili kanonik kökün (özdeğerin) pozitif kareköküne eşittir.
2
Maksimum kanonik değişken çifti sayısının belirlenmesi.
Maksimum anlamlı çift sayısı min⁡(p,q)=min⁡(5,2)=2\min(p, q) = \min(5, 2) = 2 olarak belirlenir.
Elde edilebilecek maksimum kanonik çift sayısı, analize dâhil edilen iki değişken setinden daha az değişkene sahip olanın boyutu kadardır.
3
Kanonik değişkenler arası ilişkilerin (ortogonallik) değerlendirilmesi.
Aynı sıradaki değişkenler (U1,V1U_1, V_1) yüksek korelasyona sahipken, farklı sıradaki değişkenler (U1U_1 ile V2V_2 veya U1U_1 ile U2U_2) arasındaki korelasyon tam olarak 00'dır.
KKA'nın temel matematiksel kısıtı gereği, oluşturulan her yeni kanonik değişken çifti diğer tüm çiftlerden bağımsız (ortogonal) olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kanonik Değişkenler, Özdeğer İlişkisi ve Ortogonallik Özelliği

Alternatif Yöntem

Matris cebiri mantığıyla düşünürsek; kanonik değişkenler U=A′XU = A'X ve V=B′YV = B'Y olarak tanımlanır. AA ve BB vektörleri, aralarındaki korelasyonu maksimize edecek, ancak kendi içlerinde (varyansları 1 ve ortak varyansları 0 olacak şekilde) ortonormal bir sistem oluşturacak biçimde seçilir. Bu seçim gereği i≠ji \neq j için Cov(Ui,Vj)=0Cov(U_i, V_j) = 0 zorunluluğu doğar.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Bu konudan daha fazla soru