Examkin

Soru

Zorluk: KolayTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı, yeni tamamlanan bir otoyol projesinde araçların ortalama seyahat süresini (μ\mu) tahmin etmek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Bu kapsamda rastgele seçilen 6464 aracın seyahat süreleri ölçülmüş ve örneklem ortalaması xˉ=80\bar{x} = 80 dakika olarak hesaplanmıştır. Otoyolun teknik özellikleri gereği seyahat sürelerinin normal dağıldığı ve kitle standart sapmasının σ=16\sigma = 16 dakika olduğu bilinmektedir. Buna göre, kitle ortalaması (μ\mu) için %95\%95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 alınız.)

  1. (76,08;83,92)(76,08; 83,92)Cevap
  2. B
    (48,64;111,36)(48,64; 111,36)
  3. C
    (76,71;83,29)(76,71; 83,29)
  4. D
    (79,51;80,49)(79,51; 80,49)
  5. E
    (78,04;81,96)(78,04; 81,96)

Cevap

Hesaplanan %95 güven aralığı (76,08;83,92)(76,08; 83,92) dakikadır.
Verilen bilgilere göre xˉ=80\bar{x} = 80, σ=16\sigma = 16, n=64n = 64 ve %95\%95 güven düzeyi için Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 değerleri formülde yerine konulduğunda 80±1,96(16/64)=80±3,9280 \pm 1,96(16/\sqrt{64}) = 80 \pm 3,92 işlemi sonucunda (76,08;83,92)(76,08; 83,92) aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart hatanın (SxˉS_{\bar{x}}) hesaplanması
Sxˉ=σn=1664=168=2S_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2
Örneklem ortalamasının yayılımını belirlemek için kitle standart sapması örneklem çapının kareköküne bölünmelidir.
2
Hata payının (Margin of Error) hesaplanması
HataPayı=Z0,025×Sxˉ=1,96×2=3,92Hata Payı = Z_{0,025} \times S_{\bar{x}} = 1,96 \times 2 = 3,92
Verilen güven düzeyine karşılık gelen kritik değer ile standart hata çarpılarak ortalamadan sapma miktarı bulunur.
3
Güven aralığı sınırlarının belirlenmesi
Alt Sınır: 80−3,92=76,0880 - 3,92 = 76,08; Üst Sınır: 80+3,92=83,9280 + 3,92 = 83,92
Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak güven aralığı oluşturulur.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı (σ2σ^2) biliniyorsa veya örneklem çapı yeterince büyükse (n≥30n \ge 30), kitle ortalaması için güven aralığı ZZ dağılımı kullanılarak xˉ±Zα/2σn\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} formülü ile hesaplanır.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru