Bilinmeyen bir \theta parametresi için yansız bir T tahmin edicisi ve bu parametre için ye… — KPSS İstatistik

Bilinmeyen bir $\theta$ parametresi için yansız bir $T$ tahmin edicisi ve bu parametre için yeterli bir $S$ istatistiği tanımlanmıştır. Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen $T^* = E[T|S]$ tahmin edicisi hakkında aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

$T^*$ , $\theta$ için yansızdır ve $Var(T^*) \leq Var(T)$ eşitsizliğini sağlar.Cevap
B
$T^*$ , $\theta$ için yanlı bir tahmin edicidir ancak $T$ 'den daha küçük bir varyansa sahiptir.
C
$T^*$ tahmin edicisi, hesaplanma yöntemi gereği $S$ yeterli istatistiğine bağlı değildir.
D
$T^*$ tahmin edicisinin yansız olabilmesi için $S$ istatistiğinin mutlaka tam (complete) olması gerekir.
E
$T^*$ tahmin edicisinin varyansı, orijinal $T$ tahmin edicisinin varyansından her zaman daha büyüktür.

Cevap

Yeni tahmin edicinin yansız olduğu ve varyansının orijinal tahmin edicinin varyansından küçük veya ona eşit olduğu ifadesi doğrudur.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerine şartlı beklentisinin alınmasıyla elde edilen yeni tahmin edicinin de yansız kalacağını ve varyansının orijinal tahmin ediciden daha büyük olamayacağını (

Var(T^*) \leq Var(T)

) kesin olarak ifade eder.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicinin beklenen değerini kontrol etme

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = \theta

İterasyonel beklenti kuralı (Law of Iterated Expectations) uyarınca, şartlı beklentinin beklenen değeri orijinal beklenen değere eşittir.

Varyansları karşılaştırma

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

olduğundan

Var(T) = Var(T^*) + E[Var(T|S)]

Varyans ayrışım teoremi (Law of Total Variance) kullanılarak orijinal varyans bileşenlerine ayrılır.

Eşitsizliği kurma

E[Var(T|S)] \geq 0

olduğu için

Var(T^*) \leq Var(T)

Varyans her zaman negatif olmayan bir değer olduğundan, yeni tahmin edicinin varyansı orijinal varyanstan büyük olamaz.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirme

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru