Examkin

Soru

Zorluk: ZorOran ve Regresyon Tahminleyicilerinin Karşılaştırılması

Bir kamu kurumu, bölgesel işletmelerin ortalama aylık enerji tüketimini (yy) tahmin etmek için basit rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. İlgilenilen değişkenin kitle varyasyon katsayısı Cy=0,50C_y = 0,50 olarak hesaplanmıştır. Kurumun elinde çerçevedeki tüm işletmeler için önceden bilinen iki farklı yardımcı değişken (x1x_1 ve x2x_2) mevcuttur. Bu değişkenlere ait popülasyon parametreleri aşağıda verilmiştir:

* x1x_1 değişkeni: Varyasyon katsayısı Cx1=0,60C_{x_1} = 0,60, ilgilenilen değişkenle korelasyonu ρyx1=0,55\rho_{yx_1} = 0,55
* x2x_2 değişkeni: Varyasyon katsayısı Cx2=0,40C_{x_2} = 0,40, ilgilenilen değişkenle korelasyonu ρyx2=0,45\rho_{yx_2} = 0,45

Buna göre, oran ve regresyon tahminleyicilerinin kitle ortalamasının basit rastgele örnekleme tahminleyicisi (yˉ\bar{y}) ile etkinlik (varyans küçüklüğü) açısından karşılaştırılmasına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. x1x_1 değişkeni kullanılarak oluşturulan regresyon tahminleyicisi verilen tüm tahminleyiciler arasında en küçük varyansa sahipken, aynı değişkenle oluşturulan oran tahminleyicisi basit rastgele örnekleme ortalamasından daha az etkindir.Cevap
  2. B
    Her iki yardımcı değişkenin de ilgilenilen değişkenle korelasyonu pozitif (ρ>0\rho > 0) olduğu için, her iki değişkenle oluşturulacak oran tahminleyicisi de basit rastgele örnekleme ortalamasından daha etkindir.
  3. C
    x2x_2 değişkeninin varyasyon katsayısı (Cx2=0,40C_{x_2}=0,40) daha küçük olduğundan, bu değişkenle elde edilecek oran tahminleyicisi, x1x_1 ile elde edilecek regresyon tahminleyicisinden daha etkindir.
  4. D
    x1x_1 değişkeninin ilgilenilen değişkenle korelasyonu 0,50,5'ten büyük (ρyx1>0,5\rho_{yx_1} > 0,5) olduğu için, x1x_1 değişkeniyle hesaplanan oran tahminleyicisi basit rastgele örnekleme ortalamasına göre daha etkindir.
  5. E
    Regresyon tahminleyicisinin varyans denklemi, oran tahminleyicisi ile aynı varsayımlara dayandığı için, her iki yardımcı değişken için de oran ve regresyon tahminleyicileri asimptotik olarak eşit varyansa sahiptir.

Cevap

x1x_1 değişkeni ile oluşturulan regresyon tahminleyicisinin en etkin olduğu, ancak aynı değişkenle oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeden daha başarısız (daha büyük varyanslı) olduğunu belirten seçenektir.
Tahminleyicilerin asimptotik varyans hesaplamaları yapıldığında; basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasının varyansı Cy2=0,25C_y^2 = 0,25 ile orantılıdır. x1x_1 değişkeni için oran tahminleyicisinin BRÖ'den etkin olma şartı olan ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} formülü kontrol edildiğinde, 0,55>0,602⋅0,50  ⟹  0,55>0,600,55 > \frac{0,60}{2 \cdot 0,50} \implies 0,55 > 0,60 eşitsizliği sağlanmaz. Bu durum x1x_1 ile elde edilecek oran tahminleyicisinin BRÖ'den daha büyük varyansa (daha düşük etkinliğe) sahip olduğunu kanıtlar. Öte yandan, regresyon tahminleyicisinin varyans orantısı 1−ρ21-\rho^2 faktörü ile BRÖ varyansını daima küçültür. Seçeneklerdeki en yüksek mutlak korelasyona sahip olan x1x_1 değişkeni (ρ=0,55\rho=0,55), regresyon tahminleyicisi formülünde varyansı en çok düşüren (yaklaşık %30 indirim) ve tüm tahminleyiciler arasında en küçük varyansı üreten değişkendir.

Adım Adım Çözüm

1
Basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasının referans varyans orantısını belirleme.
V(yˉ)∝Cy2=(0,50)2=0,25V(\bar{y}) \propto C_y^2 = (0,50)^2 = 0,25 referans değeri bulunur.
Diğer tüm tahminleyicilerin varyanslarını ve etkinliklerini bu referans noktasına göre kıyaslamak için gereklidir.
2
x1x_1 ve x2x_2 değişkenleri için oran tahminleyicisinin BRÖ'den daha etkin olma şartını (ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}) kontrol etme.
x1x_1 için: 0,55>0,602⋅0,50  ⟹  0,55>0,600,55 > \frac{0,60}{2 \cdot 0,50} \implies 0,55 > 0,60 (Şart sağlanmaz, BRÖ daha etkindir). x2x_2 için: 0,45>0,402⋅0,50  ⟹  0,45>0,400,45 > \frac{0,40}{2 \cdot 0,50} \implies 0,45 > 0,40 (Şart sağlanır, Oran tahminleyicisi BRÖ'den daha etkindir).
Oran tahminleyicisinin doğrudan BRÖ varyansını düşürüp düşürmediğini matematiksel sınır değere göre kanıtlamak için yapılır.
3
x1x_1 ve x2x_2 değişkenleri için regresyon tahminleyicisinin asimptotik varyansını (V(yˉlr)=V(yˉ)(1−ρ2)V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y})(1-\rho^2)) hesaplama.
x1x_1 için varyans orantısı: 0,25⋅(1−0,552)=0,25⋅0,6975≈0,1740,25 \cdot (1 - 0,55^2) = 0,25 \cdot 0,6975 \approx 0,174. x2x_2 için varyans orantısı: 0,25⋅(1−0,452)=0,25⋅0,7975≈0,1990,25 \cdot (1 - 0,45^2) = 0,25 \cdot 0,7975 \approx 0,199.
Hangi değişkenin regresyon modelinde toplam varyansı en aza indireceğini net olarak tespit etmek içindir.
4
Hesaplanan tüm etkinlik orantılarını kıyaslayarak en düşük varyansa sahip olanı bulma.
Sıralama (küçükten büyüğe varyans): x1x_1 Regresyon (0,1740,174) < x2x_2 Regresyon (0,1990,199) < x2x_2 Oran (0,2300,230) < BRÖ (0,2500,250) < x1x_1 Oran (0,2800,280).
Soru kökündeki kesinlik bildiren doğru ifadeyi tespit etmek için tüm senaryoların net haritasını çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Oran ve Regresyon Tahminleyicilerinde Varyans ve Etkinlik Şartları
Bu soruyu puanla

Konular

Oran ve Regresyon Tahminleyicilerinin Karşılaştırılması