Bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu M_X(t) = e^{2t + 8t^2} olarak tanıml… — KPSS İstatistik

Bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{2t + 8t^2}$ olarak tanımlanmıştır. $Y = \frac{1}{2}X + 3$ şeklinde tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$e^{4t + 2t^2}$ Cevap
B
$e^{3.5t + 4t^2}$
C
$e^{4t + 8t^2}$
D
$\frac{1}{2}e^{2t + 8t^2} + 3$
E
$e^{2t + 8t^2}$

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen moment çıkaran fonksiyon

e^{4t + 2t^2}

şeklindedir.

Doğru cevap,

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

kuralının hatasız uygulanmasıyla elde edilir.

a=0,5

b=3

değerleri için

M_X(0,5t) = e^{t + 2t^2}

olur ve dışarıdaki

e^{3t}

terimi ile çarpıldığında üsler toplanarak

4t + 2t^2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Moment çıkaran fonksiyonlar için doğrusal dönüşüm kuralını belirleme

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

Doğrusal bir dönüşümün moment çıkaran fonksiyonu, orijinal fonksiyonun ölçeklenmiş ve kaydırılmış hali cinsinden ifade edilir.

Verilen katsayıları (

a=1/2, b=3

) kuralda yerine yazma

M_Y(t) = e^{3t} M_X(\frac{1}{2}t)

Soruda tanımlanan

Y = \frac{1}{2}X + 3

ifadesindeki sabitleri kurala uyarlamak gerekir.

M_X(t)

fonksiyonunda

t

yerine

\frac{1}{2}t

yazarak ifadeyi düzenleme

M_Y(t) = e^{3t} \cdot e^{2(\frac{1}{2}t) + 8(\frac{1}{2}t)^2} = e^{3t} \cdot e^{t + 2t^2} = e^{4t + 2t^2}

Üstel ifadelerin çarpımı, üslerin toplanması kuralı ile nihai fonksiyonu verir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular