Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir çevre mühendisi, bir göldeki cıva konsantrasyonunu (mikrogram/litre) ölçmektedir. Cıva konsantrasyonu logaritmik olarak normal dağıldığından, rastgele seçilen nn farklı su örneğinden elde edilen ölçümler (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) Log-Normal dağılım ile modellenmiştir. Dağılımın temelini oluşturan varyans değerinin σ2=1\sigma^2 = 1 olduğu bilinmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen θ\theta parametresi (−∞<θ<∞-\infty < \theta < \infty) için aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)=1x2πexp⁡(−12(ln⁡x−θ)2),x>0f(x; \theta) = \frac{1}{x \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x - \theta)^2\right), \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, bilinmeyen θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  3. C
    ∑i=1n(ln⁡Xi)2\sum_{i=1}^n (\ln X_i)^2
  4. ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_iCevap
  5. E
    max⁡1≤i≤nln⁡Xi\max_{1 \le i \le n} \ln X_i

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_i değeridir.
Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonu yazıldığında L(θ;x)=∏i=1n1xi2πexp⁡(−12(ln⁡xi−θ)2)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right) elde edilir. Üstel ifade içindeki tam kare açılımı yapılıp terimler düzenlendiğinde fonksiyon; parametreyi ve istatistiği birlikte içeren g(T(x),θ)=exp⁡(θ∑i=1nln⁡xi−nθ22)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right) ile sadece gözlemlere bağlı olan h(x)=(2π)−n/2(∏i=1nxi)−1exp⁡(−12∑i=1n(ln⁡xi)2)h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right) fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği, gg fonksiyonunun içindeki T(x)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i terimi θ\theta için yeterli (sufficient) istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
nn çaplı örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazın.
L(θ;x)=∏i=1n[1xi2πexp⁡(−12(ln⁡xi−θ)2)]L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right) \right]
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı, tüm örneklemin ortak dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonunu oluşturmaktır.
2
Çarpım sembolünü üstel ifadenin içine toplam olarak geçirin ve tam kare açılımını uygulayın.
L(θ;x)=(2π)−n/2(∏i=1nxi)−1exp⁡(−12∑i=1n((ln⁡xi)2−2θln⁡xi+θ2))L(\theta; \mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left((\ln x_i)^2 - 2\theta\ln x_i + \theta^2\right)\right)
Neyman teoremini uygulayabilmek için üstel ifadedeki parametre ile gözlem değerlerinin ilişkisini açıkça görmek gereklidir.
3
Fonksiyonu g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) ve h(x)h(\mathbf{x}) formunda iki çarpana ayırın.
L(θ;x)=exp⁡(θ∑i=1nln⁡xi−nθ22)⏟g(T(x),θ)⋅(2π)−n/2(∏i=1nxi)−1exp⁡(−12∑i=1n(ln⁡xi)2)⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{(2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right)}_{h(\mathbf{x})}
Teoreme göre, hem θ\theta'yı hem de istatistiği içeren gg fonksiyonunun içindeki T(x)T(\mathbf{x}) terimi yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem)
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru