Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı, 10 farklı organize sanayi bölgesindeki (OSB) sanayi tesisi sayısı (XX, yüz adet) ile bu bölgelerdeki günlük ortalama hava kirliliği indeksi (YY) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Yapılan ön çalışmada aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

n=10n = 10
∑i=110Xi=40\sum_{i=1}^{10} X_i = 40
∑i=110Yi=150\sum_{i=1}^{10} Y_i = 150
∑i=110Xi2=210\sum_{i=1}^{10} X_i^2 = 210
∑i=110XiYi=700\sum_{i=1}^{10} X_i Y_i = 700

Buna göre, hava kirliliği indeksini sanayi tesisi sayısına bağlayan basit doğrusal regresyon modelinin En Küçük Kareler (EKK) tahmin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Y^=7+2X\hat{Y} = 7 + 2XCevap
  2. B
    Y^=13+0,5X\hat{Y} = 13 + 0,5X
  3. C
    Y^=23+2X\hat{Y} = 23 + 2X
  4. D
    Y^=−26+2X\hat{Y} = -26 + 2X
  5. E
    Y^=11+2X\hat{Y} = 11 + 2X

Cevap

Modelin En Küçük Kareler tahmin denklemi Y^=7+2X\hat{Y} = 7 + 2X şeklindedir.
Verilen özet istatistikler kullanılarak önce ortalamalar (Xˉ=4,Yˉ=15\bar{X}=4, \bar{Y}=15), ardından sapma kareler ve çarpımlar toplamları (SSXX=50,SSXY=100SS_{XX}=50, SS_{XY}=100) bulunmuştur. Eğim katsayısı β1^=100/50=2\hat{\beta_1} = 100 / 50 = 2 olarak elde edilmiştir. Son olarak kesme noktası β0^=15−2(4)=7\hat{\beta_0} = 15 - 2(4) = 7 bulunmuş ve regresyon denklemi Y^=7+2X\hat{Y} = 7 + 2X olarak oluşturulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamalarını hesaplama
Xˉ=4010=4\bar{X} = \frac{40}{10} = 4 ve Yˉ=15010=15\bar{Y} = \frac{150}{10} = 15 bulunmuştur.
EKK formüllerinde kullanılmak üzere değişkenlerin ortalamalarına ihtiyaç vardır.
2
Kareler ve çarpımlar toplamını düzeltme (SSXXSS_{XX} ve SSXYSS_{XY} hesabı)
SSXX=210−10(42)=50SS_{XX} = 210 - 10(4^2) = 50 ve SSXY=700−10(4)(15)=100SS_{XY} = 700 - 10(4)(15) = 100 elde edilmiştir.
Eğim katsayısı, ortalamadan sapmaların çarpım toplamının, X'in ortalamadan sapma kareler toplamına oranıdır.
3
Eğim katsayısını (β1^\hat{\beta_1}) hesaplama
β1^=SSXYSSXX=10050=2\hat{\beta_1} = \frac{SS_{XY}}{SS_{XX}} = \frac{100}{50} = 2 bulunmuştur.
Doğrusal modelde bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki marjinal etkisini tahmin etmek içindir.
4
Kesme noktasını (β0^\hat{\beta_0}) hesaplama
β0^=Yˉ−β1^Xˉ=15−2(4)=7\hat{\beta_0} = \bar{Y} - \hat{\beta_1}\bar{X} = 15 - 2(4) = 7 bulunmuştur.
Regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği noktayı belirleyerek tahmin denklemini tamamlamak içindir.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda EKK Katsayı Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru