Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir hidroloji uzmanı, belirli bir havzadaki barajların günlük doluluk oranlarını (0 ile 1 arasında) XX rassal değişkeni ile modellemektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1,θ>0f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

Uzman, nn günlük rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alarak θ\theta parametresi için Lehmann-Scheffe teoremini kullanıp düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin ediciyi (UMVUE) elde etmek istemektedir.

Buna göre, dağılımın üstel aile (exponential family) özellikleri dikkate alındığında, Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için gereken 'tam (complete) ve yeterli' istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i)Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    −n∑i=1nln⁡(Xi)-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}
  5. E
    Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

Cevap

İlgili olasılık dağılımının üstel aile formunda yazılması sonucunda elde edilen tam ve yeterli istatistik ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) ifadesidir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda f(x;θ)=exp⁡(ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x)f(x; \theta) = \exp(\ln \theta + (\theta-1)\ln x) olarak yazılabilir. nn çaplı örneklem için ortak olabilirlik fonksiyonu f(x;θ)=θnexp⁡((θ−1)∑i=1nln⁡xi)f(\mathbf{x}; \theta) = \theta^n \exp\left((\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i\right) halini alır. Bu formda doğal parametre η=θ−1\eta = \theta-1 ve buna eşlik eden istatistik T(X)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i'dir. θ∈(0,∞)\theta \in (0, \infty) olduğu için η\eta'nın tanım kümesi (−1,∞)(-1, \infty) açık aralığını kapsar. Üstel aile teoremlerine göre bu koşul sağlandığında elde edilen istatistik tam (complete) ve yeterli (sufficient) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile (exponential family) formunda ifade edin.
f(x;θ)=exp⁡(ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x)f(x; \theta) = \exp(\ln \theta + (\theta-1)\ln x)
Üstel aile formu, tam ve yeterli istatistiği doğrudan belirlememizi sağlayan matematiksel yapıyı ortaya çıkarır.
2
nn birimlik örneklem için ortak yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturun.
f(x;θ)=θnexp⁡((θ−1)∑i=1nln⁡xi)f(\mathbf{x}; \theta) = \theta^n \exp\left((\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)
Örneklem çapına bağlı olarak istatistiğin örneklemdeki tüm verileri nasıl kullandığını görmek gereklidir.
3
Üstel aile teoremine göre doğal parametreyi ve karşılık gelen istatistiği belirleyip tamlık şartını kontrol edin.
Doğal parametre η=θ−1\eta = \theta-1 ve istatistik T(X)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i'dir. θ>0\theta > 0 olduğundan η∈(−1,∞)\eta \in (-1, \infty) uzayı bir açık aralık içerir, bu da istatistiğin tam (complete) olduğunu kanıtlar.
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için istatistiğin hem yeterli hem de tam olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık ve Yeterlilik (Completeness and Sufficiency in Exponential Families)
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru