Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir istatistiksel modellemede kullanılan XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 parametresine bağlı olarak aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)={2xθ2,0<x<θ0,dig˘er durumlarf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden alınan bir birimlik XX gözlemi, θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla T=XT = X şeklinde bir tahmin edici olarak önerilmektedir.

Buna göre, TT tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ218\frac{\theta^2}{18}
  2. B
    θ29\frac{\theta^2}{9}
  3. θ26\frac{\theta^2}{6}Cevap
  4. D
    2θ3\frac{2\theta}{3}
  5. E
    θ22\frac{\theta^2}{2}

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) θ26\frac{\theta^2}{6} olarak hesaplanır.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak yapılan hesaplamada, tahmin edicinin varyansı θ2/18\theta^2/18 ve yan miktarının karesi θ2/9\theta^2/9 olarak bulunmuştur. MSE tanımı gereği bu iki değerin toplamı olan θ2/6\theta^2/6 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.
E[T]=E[X]=∫0θx⋅2xθ2dx=∫0θ2x2θ2dx=[2x33θ2]0θ=2θ3E[T] = E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \int_{0}^{\theta} \frac{2x^2}{\theta^2} dx = \left[ \frac{2x^3}{3\theta^2} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2\theta}{3}
Yansızlık ve MSE hesabı için öncelikle tahmin edicinin ortalaması bulunmalıdır.
2
Tahmin edicinin varyansını hesapla.
E[X2]=∫0θx2⋅2xθ2dx=θ22E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{\theta^2}{2} ve Var(T)=E[X2]−(E[X])2=θ22−(2θ3)2=θ218Var(T) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{2} - (\frac{2\theta}{3})^2 = \frac{\theta^2}{18}
MSE formülünün temel bileşenlerinden biri olan varyansın belirlenmesi gerekir.
3
Yan (bias) miktarını ve karesini hesapla.
Yan(T)=E[T]−θ=2θ3−θ=−θ3⇒Yan2(T)=θ29Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3} \Rightarrow Yan^2(T) = \frac{\theta^2}{9}
Tahmin edici yansız olmadığı için yan miktarının karesi MSE hesabına dahil edilmelidir.
4
Hata Kareler Ortalamasını (MSE) birleştir.
MSE(T)=Var(T)+Yan2(T)=θ218+θ29=θ2+2θ218=3θ218=θ26MSE(T) = Var(T) + Yan^2(T) = \frac{\theta^2}{18} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{\theta^2 + 2\theta^2}{18} = \frac{3\theta^2}{18} = \frac{\theta^2}{6}
MSE, varyans ve yan karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Formülü: MSE(T)=Var(T)+[Yan(T)]2MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2

Daha Fazla Pratik

Tahmin edici yansız olsaydı MSE ile varyans arasındaki ilişkinin nasıl değişeceğini düşününüz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru