Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Aşağıdaki doğrusal programlama modeli verilmiştir:

Minimize Z=2x1+5x2Z = 2x_1 + 5x_2

Kısıtlar:
x1+x2≥2x_1 + x_2 \geq 2
2x1+x2≤62x_1 + x_2 \leq 6
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Bu model Büyük-M (Big-M) yöntemi ile çözülmek istendiğinde, yapay değişkenlerin temel değişkenler arasında yer aldığı başlangıç simpleks tablosunda amaç fonksiyonu satırındaki (ZZ satırı) x1x_1 değişkeninin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. M−2M - 2Cevap
  2. B
    2−M2 - M
  3. C
    M+2M + 2
  4. D
    22
  5. E
    −M-M

Cevap

Başlangıç simpleks tablosundaki amaç satırında x1x_1 değişkeninin katsayısı M−2M - 2 olur.
Minimizasyon probleminde Z=2x1+5x2+Ma1Z = 2x_1 + 5x_2 + Ma_1 olan amaç fonksiyonunda, a1=2−x1−x2+s1a_1 = 2 - x_1 - x_2 + s_1 eşitliği yerine yazıldığında Z=(2−M)x1+(5−M)x2+Ms1+2MZ = (2-M)x_1 + (5-M)x_2 + Ms_1 + 2M elde edilir. Simpleks tablosundaki amaç satırı formatında (ZZ terimi katsayısı 1 olacak şekilde tüm değişkenlerin sol tarafa toplanması) x1x_1 değişkeninin katsayısı −(2−M)-(2-M) yani M−2M-2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtların standart forma dönüştürülmesi
x1+x2−s1+a1=2x_1 + x_2 - s_1 + a_1 = 2 ve 2x1+x2+s2=62x_1 + x_2 + s_2 = 6
Büyük eşit (>=) kısıtı için bir artık değişken (s1s_1) ve başlangıç temel uygun çözümü sağlamak için bir yapay değişken (a1a_1) eklenmelidir.
2
Amaç fonksiyonunun ceza parametresi (M) ile kurulması
Minimize Z=2x1+5x2+Ma1Z = 2x_1 + 5x_2 + Ma_1
Minimizasyon problemlerinde Büyük-M yönteminde yapay değişkenler amaç fonksiyonuna +M+M katsayısı ile eklenir.
3
Yapay değişkenin amaç satırından elenmesi
Z=2x1+5x2+M(2−x1−x2+s1)⇒Z=(2−M)x1+(5−M)x2+Ms1+2MZ = 2x_1 + 5x_2 + M(2 - x_1 - x_2 + s_1) \Rightarrow Z = (2-M)x_1 + (5-M)x_2 + Ms_1 + 2M
Bir değişkenin temel değişken olabilmesi için başlangıç tablosundaki amaç satırı katsayısının 0 olması gerekir; bu nedenle a1a_1 değişkeni amaç fonksiyonundan yok edilir.
4
Tablo formatına (Z satırı) dönüştürme
Z+(M−2)x1+(M−5)x2−Ms1=2MZ + (M-2)x_1 + (M-5)x_2 - Ms_1 = 2M
Simpleks tablosunda değişkenler sol tarafa, sabitler sağ tarafa alınarak standart satır formu oluşturulur.

Anahtar Kavram

Büyük-M yönteminde yapay değişkenin amaç fonksiyonundan elenerek başlangıç tablosu katsayılarının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Matris formunda amaç satırı katsayılarını hesaplamak için cBB−1Aj−cjc_B B^{-1} A_j - c_j formülü de kullanılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Bu konudan daha fazla soru