Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bir nükleer fizik deneyinde, radyoaktif bir maddenin bozunma süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x;λ)=λe−λx, x>0f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \ x > 0 olan üstel dağılıma sahip olduğu ve birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir.

Araştırmacılar, bir parçacığın 11 birim zamandan daha uzun süre bozunmadan kalma olasılığı olan p=P(X>1)=e−λp = P(X > 1) = e^{-\lambda} parametresi ile ilgilenmektedirler.

Buna göre, pp parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) p^\hat{p} ve bu tahmin edicinin asimptotik varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    Tahmin edici p^=e−Xˉ\hat{p} = e^{-\bar{X}}, Asimptotik Varyans =e−2λnλ2= \frac{e^{-2\lambda}}{n \lambda^2}
  2. B
    Tahmin edici p^=1n∑i=1nI(Xi>1)\hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{(X_i > 1)}, Asimptotik Varyans =e−λ(1−e−λ)n= \frac{e^{-\lambda}(1-e^{-\lambda})}{n}
  3. Tahmin edici p^=e−1/Xˉ\hat{p} = e^{-1/\bar{X}}, Asimptotik Varyans =λ2e−2λn= \frac{\lambda^2 e^{-2\lambda}}{n}Cevap
  4. D
    Tahmin edici p^=e−1/Xˉ\hat{p} = e^{-1/\bar{X}}, Asimptotik Varyans =e−2λn= \frac{e^{-2\lambda}}{n}
  5. E
    Tahmin edici p^=e−1/Xˉ\hat{p} = e^{-1/\bar{X}}, Asimptotik Varyans =λ2n= \frac{\lambda^2}{n}

Cevap

Tahmin edici olarak p^=e−1/Xˉ\hat{p} = e^{-1/\bar{X}} ve asimptotik varyans olarak λ2e−2λn\frac{\lambda^2 e^{-2\lambda}}{n} değerlerini veren seçenektir.
En çok olabilirlik tahmin edicisinin (MLE) değişmezlik (invariance) özelliği gereği, sorulan p=e−λp = e^{-\lambda} fonksiyonu için önce λ\lambda'nın MLE'si bulunmalıdır. Üstel dağılımda olabilirlik fonksiyonunun maksimize edilmesiyle λ^=1/Xˉ\hat{\lambda} = 1/\bar{X} bulunur. Değişmezlik özelliğinden p^=e−1/Xˉ\hat{p} = e^{-1/\bar{X}} elde edilir. Asimptotik varyansı bulmak için Delta yöntemi (Delta method) uygulanır: Var(g(λ^))≈[g′(λ)]2Var(λ^)Var(g(\hat{\lambda})) \approx [g'(\lambda)]^2 Var(\hat{\lambda}). Burada g(λ)=e−λg(\lambda) = e^{-\lambda} olduğundan türevi g′(λ)=−e−λg'(\lambda) = -e^{-\lambda}'dır. λ^\hat{\lambda}'nın asimptotik varyansı ise Cramer-Rao alt sınırı olan 1/In(λ)=λ2/n1/I_n(\lambda) = \lambda^2/n'dir. Bu değerler formülde yerine konulduğunda (−e−λ)2⋅(λ2/n)=λ2e−2λn(-e^{-\lambda})^2 \cdot (\lambda^2/n) = \frac{\lambda^2 e^{-2\lambda}}{n} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel dağılım için λ\lambda parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) bul.
λ^=1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} elde edilir.
Olabilirlik fonksiyonu L(λ)=λne−λ∑XiL(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum X_i} şeklindedir. Logaritması alınıp türevi sıfıra eşitlendiğinde parametre bulunur.
2
MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliğini kullanarak p=e−λp = e^{-\lambda} için tahmin ediciyi belirle.
p^=e−λ^=e−1/Xˉ\hat{p} = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-1/\bar{X}} elde edilir.
Bir θ\theta parametresinin MLE'si θ^\hat{\theta} ise, g(θ)g(\theta)'nın MLE'si g(θ^)g(\hat{\theta}) olur.
3
Fisher Bilgi matrisini kullanarak λ^\hat{\lambda}'nın asimptotik varyansını hesapla.
Var(λ^)≈1In(λ)=λ2nVar(\hat{\lambda}) \approx \frac{1}{I_n(\lambda)} = \frac{\lambda^2}{n} bulunur.
Üstel dağılım için I(λ)=−E[∂2∂λ2ln⁡f(X)]=1λ2I(\lambda) = -E[\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} \ln f(X)] = \frac{1}{\lambda^2}'dir. nn gözlem için In(λ)=nλ2I_n(\lambda) = \frac{n}{\lambda^2} olur.
4
Delta yöntemini uygulayarak g(λ^)=e−λ^g(\hat{\lambda}) = e^{-\hat{\lambda}} tahmin edicisinin asimptotik varyansını bul.
Var(p^)≈[g′(λ)]2Var(λ^)=(−e−λ)2(λ2n)=λ2e−2λnVar(\hat{p}) \approx [g'(\lambda)]^2 Var(\hat{\lambda}) = (-e^{-\lambda})^2 \left(\frac{\lambda^2}{n}\right) = \frac{\lambda^2 e^{-2\lambda}}{n} sonucuna ulaşılır.
Asimptotik dağılımlarda fonksiyonel dönüşümlerin varyansı, fonksiyonun türevinin karesi ile orijinal tahmin edicinin varyansının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Değişmezlik ve Delta Yöntemi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru