Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bir kamu kurumunun veri analiz merkezinde, vatandaşlardan gelen taleplerin işlenme süreleri incelenmektedir. İlgili veri setindeki bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerin, θ\theta parametreli bir dağılımdan geldiği varsayılmaktadır. Analistler, θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisinin (MLE) θ^\hat{\theta} olduğunu ve bu tahmin edicinin θ\theta için yansız (unbiased) ve tutarlı (consistent) olduğunu ispatlamışlardır.

Kurum yönetimi, raporlama standartları gereği parametrenin kendisi yerine, bu parametrenin doğrusal olmayan γ=θ2+ln⁡(θ)\gamma = \theta^2 + \ln(\theta) fonksiyonu ile tanımlanan yeni bir performans göstergesinin tahmin edilmesini talep etmektedir.

Buna göre, γ\gamma parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi olan γ^\hat{\gamma}'nın elde edilişi ve özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Değişmezlik (invariance) özelliği gereği γ^=θ^2+ln⁡(θ^)\hat{\gamma} = \hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta}) olur; θ^\hat{\theta} yansız olsa da doğrusal olmayan dönüşüm nedeniyle γ^\hat{\gamma} genellikle yanlıdır ancak tutarlılığını korur.Cevap
  2. B
    Değişmezlik özelliği yalnızca doğrusal dönüşümler için tanımlandığından, γ\gamma parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^2+ln⁡(θ^)\hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta}) formülü kullanılarak elde edilemez.
  3. C
    θ^\hat{\theta} tahmin edicisi yansız ve tutarlı olduğundan, γ^=θ^2+ln⁡(θ^)\hat{\gamma} = \hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta}) tahmin edicisi de γ\gamma için her örneklem çapında kesinlikle yansız ve tutarlıdır.
  4. D
    γ^=θ^2+ln⁡(θ^)\hat{\gamma} = \hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta}) tahmin edicisi yanlı bir tahmin ediciye dönüştüğünden, hata kareler ortalaması (MSE) doğrudan varyansına eşit olur ve tahmin edici asimptotik özelliklerini yitirir.
  5. E
    Fonksiyonun içerdiği logaritma teriminin türevinden kaynaklanan sapmalar nedeniyle, γ^\hat{\gamma} tahmin edicisi asimptotik normallik özelliğini kaybeder ve varyansı Cramer-Rao alt sınırının daima altına düşer.

Cevap

Doğru cevap, değişmezlik özelliği gereği yeni tahmin edicinin fonksiyonun içine θ^\hat{\theta} yazılarak elde edileceğini, sürekli fonksiyonlarda tutarlılığın korunacağını ancak doğrusal olmayan fonksiyonlarda yansızlığın genellikle bozulacağını ifade eden seçenektir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin en güçlü yanlarından biri değişmezlik (invariance) özelliğidir. Bu özellik sayesinde γ=g(θ)\gamma = g(\theta)'nın tahmin edicisi doğrudan g(θ^)g(\hat{\theta}) olur. Olasılıkta 'Sürekli Dönüşüm Teoremi' (Continuous Mapping Theorem) gereğince, θ^\hat{\theta} tutarlıysa ve fonksiyon sürekliyse yeni tahmin edici de tutarlılığını korur. Ancak, istatistikte beklenen değer operatörü doğrusal olmayan fonksiyonların içine dağıtılamayacağından (Jensen Eşitsizliği), yansızlık özelliği genellikle kaybolur ve tahmin edici yanlı (biased) hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygula.
γ^=g(θ^)=θ^2+ln⁡(θ^)\hat{\gamma} = g(\hat{\theta}) = \hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta}) bulunur.
Değişmezlik özelliği, g(θ)g(\theta)'nın MLE'sinin g(θ^)g(\hat{\theta}) olmasını sağlar; fonksiyonun doğrusal olup olmaması fark etmez.
2
Elde edilen tahmin edicinin yansızlığını incele.
E[γ^]=E[θ^2+ln⁡(θ^)]≠E[θ^]2+ln⁡(E[θ^])E[\hat{\gamma}] = E[\hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta})] \neq E[\hat{\theta}]^2 + \ln(E[\hat{\theta}]) olduğu görülür.
Jensen Eşitsizliği gereği, gg doğrusal olmayan bir fonksiyon ise E[g(X)]E[g(X)] genellikle g(E[X])g(E[X])'e eşit değildir. Dolayısıyla θ^\hat{\theta} yansız olsa bile g(θ^)g(\hat{\theta}) genellikle yanlıdır.
3
Elde edilen tahmin edicinin tutarlılığını incele.
Sürekli fonksiyonların limiti korunacağı (Continuous Mapping Theorem) için γ^\hat{\gamma}, γ\gamma için tutarlıdır.
θ^\hat{\theta} tutarlı bir tahmin ediciyse ve gg sürekli bir fonksiyonsa, g(θ^)g(\hat{\theta}) da tutarlı bir tahmin edici olur.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Özellikleri (Değişmezlik, Yansızlık, Tutarlılık)
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru