Bir trafik şube müdürlüğünde, vatandaşların ehliyet yenileme işlemleri için katettikleri m… — KPSS İstatistik

Bir trafik şube müdürlüğünde, vatandaşların ehliyet yenileme işlemleri için katettikleri mesafe ( $x$ ), $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2(\theta - x)}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresi için önerilen $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması ( $MSE(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(n+2)\theta^2}{9n}$ Cevap
B
$\frac{2\theta^2}{9n}$
C
$\frac{(n+1)\theta^2}{9n}$
D
$\frac{\theta^2}{9}$
E
$\frac{(n+2)\theta^2}{18n}$

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması

\frac{(n+2)\theta^2}{9n}

ifadesine eşittir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

2\theta/3

olduğu için yan miktarı

-\theta/3

olarak bulunur. Varyansı ise

2\theta^2/9n

şeklindedir. MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olduğundan, bu iki değer toplandığında sonuç payda eşitleme ile elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^3}{6} \right) = \frac{\theta}{3}

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını belirlemek için gereklidir.

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^4}{12} \right) = \frac{\theta^2}{6}

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \frac{\theta^2}{9} = \frac{\theta^2}{18}

Tahmin edicinin varyansını bulmak için temel kitle varyansı gereklidir.

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan miktarını bulun.

E[T] = E[2\bar{X}] = 2 E[X] = \frac{2\theta}{3}

Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3}

MSE formülündeki yan (bias) bileşenini belirlemek için gereklidir.

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(T) = Var(2\bar{X}) = 4 Var(\bar{X}) = 4 \frac{Var(X)}{n} = \frac{4\theta^2}{18n} = \frac{2\theta^2}{9n}

MSE formülündeki varyans bileşenini belirlemek için gereklidir.

Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesaplayın.

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \left(-\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{(n+2)\theta^2}{9n}

MSE = Varyans + Yan^2

formülünü uygulayarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru