Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKitle Oranının (R) Tahmini

Bir sanayi bölgesinde faaliyet gösteren N=50N = 50 üretim tesisinin haftalık toplam tehlikeli atık miktarının (YY, ton), bu tesislerdeki toplam makine sayısına (XX) olan oranını (RR) tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=10n = 10 tesislik bir örneklem seçilmiştir.

Örnekleme sonucunda aşağıdaki veriler elde edilmiştir:
- Örneklemdeki tesislerin haftalık toplam atık miktarı: ∑i=110yi=150\sum_{i=1}^{10} y_i = 150 ton
- Örneklemdeki tesislerin toplam makine sayısı: ∑i=110xi=50\sum_{i=1}^{10} x_i = 50 adet
- Artıkların kareleri toplamı: ∑i=110(yi−R^xi)2=225\sum_{i=1}^{10} (y_i - \hat{R}x_i)^2 = 225

Buna göre, kitle oranının tahmini (R^\hat{R}) ve bu tahminin varyansı (v(R^)v(\hat{R})) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. R^=3,00\hat{R} = 3,00 ve v(R^)=0,080v(\hat{R}) = 0,080Cevap
  2. B
    R^=3,00\hat{R} = 3,00 ve v(R^)=0,100v(\hat{R}) = 0,100
  3. C
    R^=3,00\hat{R} = 3,00 ve v(R^)=2,000v(\hat{R}) = 2,000
  4. D
    R^=3,00\hat{R} = 3,00 ve v(R^)=0,072v(\hat{R}) = 0,072
  5. E
    R^=0,33\hat{R} = 0,33 ve v(R^)=0,080v(\hat{R}) = 0,080

Cevap

R^=3,00\hat{R} = 3,00 ve v(R^)=0,080v(\hat{R}) = 0,080 değerlerini içeren seçenektir.
Kitle oranı tahmini R^=∑yi∑xi=15050=3,00\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{150}{50} = 3,00 olarak hesaplanır. Oran tahmininin varyansı ise v(R^)=1−fnxˉ2⋅se2v(\hat{R}) = \frac{1-f}{n\bar{x}^2} \cdot s_e^2 formülü ile bulunur. Burada örneklem ortalaması xˉ=5\bar{x} = 5, sonlu kitle düzeltme çarpanı (1−f)=1−0,2=0,8(1-f) = 1 - 0,2 = 0,8 ve se2=2259=25s_e^2 = \frac{225}{9} = 25 değerlerine eşittir. Bu değerler formülde yerine konulduğunda v(R^)=0,810×25×25=0,080v(\hat{R}) = \frac{0,8}{10 \times 25} \times 25 = 0,080 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle oranı tahminini (R^\hat{R}) hesapla.
R^=∑yi∑xi=15050=3,00\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{150}{50} = 3,00
Kitle oranının basit rastgele örneklemedeki tahmini, örneklem toplamlarının birbirine bölümüdür.
2
Yardımcı değişkenin örneklem ortalamasını (xˉ\bar{x}) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (1−f1-f) bul.
xˉ=5010=5\bar{x} = \frac{50}{10} = 5 ve (1−f)=1−1050=0,8(1-f) = 1 - \frac{10}{50} = 0,8
Varyans formülünün bileşenlerini eksiksiz yerine koyabilmek için bu değerler gereklidir.
3
Artıkların varyansını (se2s_e^2) hesapla.
se2=∑(yi−R^xi)2n−1=22510−1=25s_e^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{R}x_i)^2}{n-1} = \frac{225}{10-1} = 25
Örneklem üzerinden kestirim yapıldığı için artık kareler toplamı serbestlik derecesine (n−1n-1) bölünmelidir.
4
Oran tahmininin varyansını (v(R^)v(\hat{R})) hesapla.
v(R^)=1−fnxˉ2⋅se2=0,810×52×25=0,8250×25=0,080v(\hat{R}) = \frac{1-f}{n\bar{x}^2} \cdot s_e^2 = \frac{0,8}{10 \times 5^2} \times 25 = \frac{0,8}{250} \times 25 = 0,080
Oran tahmincisinin varyans formülü ilgili değerlerin yerine konulmasıyla tamamlanır.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede Oran Tahminleyicisi ve Varyansı
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Oranının (R) Tahmini

Bu konudan daha fazla soru