Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

Bir kamu kurumundaki veri analiz biriminde, birim zamanda gelen başvuru sayısının λ\lambda parametreli Poisson dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Bu kitleden alınan nn birimlik bağımsız bir rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ve örneklem toplamı S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^n X_i olarak tanımlanmıştır. P(X=0)=e−λP(X=0) = e^{-\lambda} değerini tahmin etmek için kullanılan T={1,X1=00,X1>0T = \begin{cases} 1, & X_1 = 0 \\ 0, & X_1 > 0 \end{cases} yansız tahmin edicisi göz önüne alındığında, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş tahmin edici E[T∣S]E[T|S] aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (1−1n)S(1 - \frac{1}{n})^SCevap
  2. B
    e−S/ne^{-S/n}
  3. C
    (1−Sn)n(1 - \frac{S}{n})^n
  4. D
    Sne−1/n\frac{S}{n} e^{-1/n}
  5. E
    1−(1n)S1 - (\frac{1}{n})^S

Cevap

İyileştirilmiş tahmin edici (1−1/n)S(1 - 1/n)^S ifadesidir.
Rao-Blackwell teoremi uyarınca, TT yansız bir tahmin edici ve SS yeterli bir istatistik ise T∗=E[T∣S]T^* = E[T|S] tahmin edicisi de yansızdır ve varyansı TT'den küçüktür. Poisson kitleleri için X1=0X_1=0 durumunun koşullu olasılığı hesaplandığında, toplamda nn birimden gelen bilgilerin oranlanmasıyla (1−1/n)S(1 - 1/n)^S yapısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Yeterli istatistiği belirleyin.
S=∑XiS = \sum X_i istatistiği λ\lambda için yeterlidir.
Poisson dağılımı üstel aile üyesidir ve toplam istatistiği Neyman çarpanlara ayırma teoremi gereği yeterlidir.
2
Koşullu beklentiyi E[T∣S=s]E[T|S=s] formunda kurun.
E[T∣S=s]=P(X1=0∣S=s)E[T|S=s] = P(X_1=0 | S=s)
TT bir gösterge değişkeni olduğundan, beklenen değeri ilgili olayın olasılığına eşittir.
3
Koşullu olasılık tanımını uygulayın.
P(X1=0∣S=s)=P(X1=0,∑i=2nXi=s)P(S=s)P(X_1=0 | S=s) = \frac{P(X_1=0, \sum_{i=2}^n X_i = s)}{P(S=s)}
XiX_i değişkenlerinin bağımsızlığı kullanılarak pay kısmı çarpım şeklinde yazılır.
4
Olasılık kütle fonksiyonlarını yerleştirin.
e−λ⋅e−(n−1)λ[(n−1)λ]ss!e−nλ(nλ)ss!\frac{e^{-\lambda} \cdot \frac{e^{-(n-1)\lambda} [(n-1)\lambda]^s}{s!}}{\frac{e^{-n\lambda} (n\lambda)^s}{s!}}
X1∼Poisson(λ)X_1 \sim Poisson(\lambda) ve bağımsız toplam ∑i=2nXi∼Poisson((n−1)λ)\sum_{i=2}^n X_i \sim Poisson((n-1)\lambda) özelliklerinden yararlanılır.
5
İfadeyi sadeleştirin.
(n−1)sns=(1−1n)s\frac{(n-1)^s}{n^s} = (1 - \frac{1}{n})^s
e−nλe^{-n\lambda} terimleri ve s!s! değerleri birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru