Examkin

Soru

Zorluk: KolayBağımsızlık

Olasılık teorisinde olayların veya rastgele değişkenlerin birbirinden bağımsız olması, birçok istatistiksel yöntemin temel varsayımları arasında yer alır. Bağımsızlık kavramının özellikleri ve diğer kavramlarla ilişkisi dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    İki olay bağımsız ise bu olayların kesişim olasılığı her zaman sıfıra eşittir.
  2. İki rastgele değişken bağımsız ise bu değişkenler arasındaki kovaryans sıfıra eşittir.Cevap
  3. C
    Aralarındaki kovaryans değeri sıfır olan iki rastgele değişken her zaman bağımsızdır.
  4. D
    Bir örnek uzayda tanımlı ve olasılıkları sıfırdan büyük olan iki olay aynı anda hem bağımsız hem de ayrık olabilir.
  5. E
    İki olayın bağımsız olması için birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşit olmalıdır.

Cevap

İki rastgele değişken bağımsız ise bu değişkenler arasındaki kovaryans değeri sıfıra eşittir.
Rastgele değişkenlerin bağımsız olması, aralarında hiçbir istatistiksel bağ bulunmadığı anlamına gelir. Bu durum, değişkenlerin çarpımının beklenen değerinin, kendi beklenen değerlerinin çarpımına eşit olmasına yol açar (E[XY]=E[X]E[Y]E[XY]=E[X]E[Y]). Kovaryans formülünde (E[XY]−E[X]E[Y]E[XY]-E[X]E[Y]) bu değerler birbirini götürdüğü için bağımsız değişkenlerin kovaryansı her zaman sıfır çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık tanımının beklenti (expected value) üzerindeki etkisini hatırla.
XX ve YY bağımsız ise E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] eşitliği sağlanır.
Bağımsız değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.
2
Kovaryans formülünü uygula.
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] formülünde bağımsızlık şartını yerine koyduğumuzda Cov(X,Y)=E[X]E[Y]−E[X]E[Y]=0Cov(X, Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0 elde edilir.
Bağımsızlık durumunda çarpımın beklenen değeri, beklenen değerlerin çarpımına eşit olduğu için fark sıfır olur.
3
Diğer kavramlarla (ayrıklık) olan farkı teyit et.
Bağımsızlık P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) iken, ayrıklık P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 şartını gerektirir.
Pozitif olasılıklı olaylarda bu iki şartın aynı anda sağlanması matematiksel olarak imkansızdır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Kovaryans İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru