Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Düzenlilik (regularity) koşullarını sağlayan belirli bir parametrik aileden alınan rastgele örneklem üzerinden elde edilen en çok olabilirlik tahmin edicisi (Maximum Likelihood Estimator - MLE) ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. Örneklem çapından bağımsız olarak, her zaman yansız (unbiased) bir tahmin edicidir.Cevap
  2. B
    Değişmezlik (invariance) özelliğine sahiptir; θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^\hat{\theta} ise, g(θ)g(\theta) fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisi g(θ^)g(\hat{\theta}) olur.
  3. C
    Asimptotik olarak etkin (efficient) bir tahmin edicidir; örneklem çapı sonsuza giderken varyansı Cramer-Rao alt sınırına ulaşır.
  4. D
    Tutarlı (consistent) bir tahmin edicidir; örneklem çapı sonsuza yaklaştıkça tahmin edici olasılıkta gerçek parametre değerine yakınsar.
  5. E
    Yeterince büyük örneklem çaplarında, asimptotik olarak normal dağılıma (asymptotic normality) sahiptir.

Cevap

En çok olabilirlik tahmin edicisinin her zaman yansız (unbiased) olduğunu belirten ifade yanlıştır.
En çok olabilirlik tahmin edicileri (MLE) asimptotik olarak yansız (örneklem çapı sonsuza giderken yansız) olmalarına rağmen, küçük veya sonlu örneklem çaplarında her zaman yansız değillerdir. Buna klasik örnek olarak normal dağılımlı bir kitleden çekilen nn çaplı örneklem ile elde edilen kitle varyansı tahmin edicisi verilebilir. MLE ile elde edilen kitle varyansı formülünde paydada 'n-1' yerine 'n' bulunur ve bu da tahmin edicinin sonlu örneklemlerde yanlı (biased) olmasına sebep olur. Bu nedenle, örneklem çapından bağımsız olarak her durumda yansız olduğu ifadesi kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin asimptotik özelliklerini ve sonlu örneklem özelliklerini incele.
MLE, tutarlılık, asimptotik normallik ve asimptotik etkinlik gibi büyük örneklem özelliklerini sağlar.
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu teyit etmek için asimptotik teorinin temel prensipleri gözden geçirilmelidir.
2
Değişmezlik (invariance) özelliğini değerlendir.
Değişmezlik teoremi, MLE'nin θ\theta için θ^\hat{\theta} olması durumunda g(θ)g(\theta) için g(θ^)g(\hat{\theta}) olmasını kesin bir şekilde garanti eder.
Değişmezlik kuralının doğru ifade edilip edilmediği kontrol edilmelidir.
3
Yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) kavramları arasındaki farkı değerlendir.
MLE tutarlıdır (örneklem sonsuza giderken yansızlık ve varyansın sıfıra gitmesi durumu oluşur) ancak küçük örneklemlerde her zaman yansız değildir. Örneğin, normal dağılımlı bir kitleden elde edilen varyansın en çok olabilirlik tahmin edicisi (σ^2\hat{\sigma}^2) hesaplanırken payda 'n-1' değil 'n' olur, bu da yanlı bir tahmin edici üretir.
Hatalı olan seçeneği kesin olarak tespit etmek için yansızlık beklentisindeki istisnai durumlara bakılır.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin (MLE) Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru