Bir belediyenin su tüketim analizi kapsamında, hanelerin günlük su kullanım miktarları ort… — KPSS İstatistik

Bir belediyenin su tüketim analizi kapsamında, hanelerin günlük su kullanım miktarları ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) olarak modellenmiştir. Kurumdaki bir istatistikçi, bazı teknik kısıtlamalar nedeniyle $\mu$ parametresini tahmin etmek için klasik örneklem ortalaması ( $\bar{X}$ ) yerine,

T_n = \frac{n\bar{X} + 5}{n + 3}

şeklinde tanımlanan yeni bir tahmin edici kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır; ancak örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri $\mu$ 'ye yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.Cevap
B
Her $n$ örneklem çapı için beklenen değeri $\mu$ 'ye eşit olduğundan, hem sonlu örneklemlerde hem de asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir.
C
Beklenen değer hesabında pay ve paydadaki sabit terimler sadeleşmediği için hem sonlu örneklemlerde hem de asimptotik olarak yanlı bir tahmin edicidir.
D
Örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin varyansı sıfıra yaklaştığı için asimptotik olarak yansızdır.
E
Tahmin edicinin asimptotik yansız olabilmesi için her $n$ değeri için hata kareler ortalamasının (MSE) varyansa eşit olması gerekir, bu nedenle asimptotik yanlıdır.

Cevap

Tahmin edici sonlu örneklem çaplarında yanlı olsa da, örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri kitlenin gerçek parametresi olan ortalamaya yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.

Doğru seçenek,

T_n

tahmin edicisinin sonlu örneklemlerde

E[T_n] = \frac{n\mu + 5}{n + 3}

olması sebebiyle yanlı olduğunu, ancak limit durumunda

\lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + 5}{n + 3} = \mu

eşitliği sağlandığı için asimptotik olarak yansız olduğunu eksiksiz biçimde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

T_n

tahmin edicisinin beklenen değerini (

E[T_n]

) hesapla.

E[T_n] = E\left[\frac{n\bar{X} + 5}{n + 3}\right] = \frac{nE[\bar{X}] + 5}{n + 3} = \frac{n\mu + 5}{n + 3}

Yansızlık durumunu incelemek için tahmin edicinin beklenen değerinin kitle parametresine (

\mu

) eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Sonlu örneklem çapları için yan (bias) miktarını belirle.

Yan =

E[T_n] - \mu = \frac{n\mu + 5}{n + 3} - \mu = \frac{n\mu + 5 - n\mu - 3\mu}{n + 3} = \frac{5 - 3\mu}{n + 3}

. Sonuç sıfır olmadığı için

T_n

yanlıdır.

Beklenen değer doğrudan

\mu

'ye eşit olmadığı için tahmin edicinin sonlu durumlarda yanlı olduğu matematiksel olarak gösterilmiş olur.

Örneklem çapı sonsuza giderken (

n \to \infty

) beklenen değerin limitini al.

\lim_{n \to \infty} E[T_n] = \lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + 5}{n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\mu + \frac{5}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \mu

Asimptotik yansızlık, örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin beklenen değerinin gerçek parametreye yakınsaması özelliğidir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru