Examkin

Soru

Zorluk: ZorTemel Kavramlar ve Varsayımlar

Bir kamu yatırım planlama teşkilatı, bütçe kısıtları altında beş farklı bölgesel altyapı projesi (X1,X2,…,X5X_1, X_2, \dots, X_5) arasından seçim yapacaktır. Projelerin uygulanabilmesi için her bir projenin "ya tamamen finanse edilmesi ya da hiç finanse edilmemesi" gerekmektedir. Ayrıca, çevresel düzenlemeler gereği 1. ve 2. projelerden "en fazla birinin" desteklenmesi şartı bulunmaktadır.

Bir proje analiz uzmanı, problemi standart bir Doğrusal Programlama (DP) modeli olarak kurgularken, karar değişkenlerini 0≤Xj≤10 \leq X_j \leq 1 (j=1,2,…,5j=1,2,\dots,5) şeklinde sürekli (kesirli değer alabilen) tanımlamış ve "en fazla birinin desteklenmesi" koşulunu modele X1⋅X2=0X_1 \cdot X_2 = 0 kısıtı ile eklemiştir.

Uzman tarafından kurulan bu modelin, Doğrusal Programlama'nın temel varsayımları ve mantıksal modelleme kuralları açısından değerlendirilmesiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Kısmi finansmanın yasaklanmış olması, modelin "Bölünebilirlik" varsayımının gerçek hayatla çelişmesine neden olmuştur. Ayrıca X1⋅X2=0X_1 \cdot X_2 = 0 ifadesi doğrusal bir denklem olmadığından "Toplanabilirlik" ve "Oransallık" varsayımlarını bozar; bu durum X1,X2∈{0,1}X_1, X_2 \in \{0, 1\} olmak üzere X1+X2≤1X_1 + X_2 \leq 1 kısıtıyla Tamsayılı Programlama kapsamında modellenmelidir.Cevap
  2. B
    Değişkenlerin 0≤Xj≤10 \leq X_j \leq 1 aralığında sürekli tanımlanması DP'nin "Bölünebilirlik" varsayımı gereği doğrudur. Ancak X1⋅X2=0X_1 \cdot X_2 = 0 koşulu "Belirlilik" varsayımını zedeler; modelin geçerli olması için kısıt yönünün X1+X2≥1X_1 + X_2 \geq 1 şeklinde düzeltilmesi yeterlidir.
  3. C
    Projelerin "ya hep ya hiç" mantığıyla seçilecek olması DP'nin "Oransallık" varsayımını bozar. Mantıksal kısıtların doğrusal modele entegrasyonu için X1⋅X2=0X_1 \cdot X_2 = 0 yerine, sürekli değişkenler korunarak kısıt yönünün değiştirilmesiyle elde edilen X1=1−X2X_1 = 1 - X_2 denklemi kullanılmalıdır.
  4. D
    Kısıt denkleminde karar değişkenlerinin çarpım durumunda olması, kaynakların ortak kullanıldığını gösterdiğinden "Toplanabilirlik" varsayımına uygundur. Temel hata, bütçe kısıtlarında eşitsizlik (≤\leq) yerine kesin eşitlik (==) kullanılarak "Bölünebilirlik" varsayımının ihlal edilmesidir.
  5. E
    Kısmi yatırım yapılamaması "Belirlilik" varsayımının doğrudan ihlalidir. Birbirini dışlayan projelerin seçimi sürekli değişkenlerle modellenemez; ancak tamsayı kullanılmadan X1+X2≥0X_1 + X_2 \geq 0 gibi her zaman sağlanan kısıtlarla dolaylı olarak modelde ifade edilmelidir.

Cevap

Doğru yanıt, kısmi finansmanın yasaklanmasını 'Bölünebilirlik' varsayımının ihlali olarak tanımlayan ve kısıtlardaki çarpım formunun doğrusallığı bozduğunu belirterek 0-1 tamsayılı X1+X2≤1X_1 + X_2 \leq 1 eşitsizliğini öneren seçenektir.
Doğrusal Programlamanın dört temel varsayımı vardır. 'Bölünebilirlik', değişkenlerin kesirli olabilmesini ifade eder. Yatırımların kısmi yapılamaması bu varsayımı gerçeklikten koparır ve tamsayılı modellemeyi zorunlu kılar. Kısıtlardaki X1⋅X2=0X_1 \cdot X_2 = 0 ifadesi değişkenlerin çarpımını içerdiğinden doğrusallığı sağlayan 'Toplanabilirlik' ve 'Oransallık' aksiyomlarını tamamen bozar. 'En fazla biri' mantıksal kısıtının 0-1 tamsayılı değişkenlerle X1+X2≤1X_1 + X_2 \leq 1 şeklinde kurgulanması literatürdeki yegane doğru yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin doğası ile karar değişkeni tanımlamasını (Bölünebilirlik varsayımı) karşılaştırmak
Projenin kısmi fonlanamaması gerçeği, uzmanın değişkenleri 0≤Xj≤10 \leq X_j \leq 1 olarak kesirli (sürekli) almasıyla çelişmektedir. Bu, Bölünebilirlik varsayımının fiilen işlemediği anlamına gelir.
Bölünebilirlik varsayımı, karar değişkenlerinin her türlü kesirli değeri (örneğin 0.45) alabileceğini söyler. Tamsayılı doğası olan (var/yok) kararlarda bu varsayım geçersizdir.
2
Uzmanın kurduğu X1⋅X2=0X_1 \cdot X_2 = 0 kısıtını Toplanabilirlik ve Oransallık açısından analiz etmek
Değişkenlerin birbiriyle çarpılması doğrusal bir fonksiyon değildir. Toplanabilirlik varsayımı f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y) = f(x)+f(y) formunu, Oransallık ise f(kx)=kf(x)f(kx)=kf(x) formunu gerektirir.
DP modellerinde amaç fonksiyonu ve kısıtlar doğrusal (lineer) olmalıdır. Çarpım terimleri her iki temel doğrusallık aksiyomunu da ihlal eder.
3
'En fazla biri' şeklindeki mantıksal koşulun doğru matematiksel modelini kurmak
Kararlar ikili yapıda olduğu için Sıfır-Bir (0-1) tamsayılı değişkenler kullanılmalı ve mantıksal önerme X1+X2≤1X_1 + X_2 \leq 1 eşitsizliğine dönüştürülmelidir.
X1,X2∈{0,1}X_1, X_2 \in \{0, 1\} şartı altında toplamın 1'den küçük veya eşit olması, ikisinin birden aynı anda 1 değerini alamamasını (ikisi birden seçilemez) garanti eder.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Varsayımları ve Sıfır-Bir Modelleme
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar ve Varsayımlar

Bu konudan daha fazla soru