Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLilliefors Testi

Bir araştırmacı, bir hava kirliliği ölçüm istasyonundan elde edilen 4040 günlük partikül madde (PM10PM_{10}) konsantrasyon değerlerinin normal dağılıma uyup uymadığını test etmek istemektedir. Anakütle ortalaması ve varyansı bilinmediği için araştırmacı bu parametreleri örneklem verilerinden tahmin etmiştir. Araştırmacı, test istatistiğini doğru bir şekilde hesaplamış ancak istatistiksel kararını verirken, parametrelerin örneklemden tahmin edildiği duruma özel olarak geliştirilen Lilliefors tablosu yerine, parametrelerin bilindiği varsayımına dayanan standart Kolmogorov-Smirnov tablosundaki kritik değerleri kullanmıştır.

Buna göre, araştırmacının yaptığı bu yöntemsel hata sonucunda ulaşacağı istatistiksel kararla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Gerçekleşen I. tip hata olasılığı nominal anlamlılık düzeyinden daha düşük olur ve testin gücü (normallikten sapmaları yakalama yeteneği) azalır.Cevap
  2. B
    Gerçekleşen I. tip hata olasılığı nominal anlamlılık düzeyinden daha yüksek olur ve test, verilerin normal dağıldığına dair H0H_0 hipotezini gereğinden fazla reddeder.
  3. C
    Parametrelerin örneklemden tahmin edilmesi, hesaplanan test istatistiği değerini yapay olarak büyüteceğinden, standart tablo kullanıldığında H0H_0 hipotezinin reddedilme olasılığı artar.
  4. D
    Örneklem hacmi (n=40n=40) büyük örneklem teorisi sınırlarına girdiğinden, standart Kolmogorov-Smirnov kritik değerleri ile Lilliefors kritik değerleri asimptotik olarak birbirine yakınsar ve karar etkilenmez.
  5. E
    Yapılan hata, testin dağılım şeklinden ziyade verilerin medyan etrafındaki rastgeleliğini ölçmesine neden olacağından, normallik yerine dizilerin bağımsızlığı test edilmiş olur.

Cevap

Gerçekleşen I. tip hata olasılığı nominal anlamlılık düzeyinden daha düşük olur ve testin gücü (normallikten sapmaları yakalama yeteneği) azalır.
Lilliefors testi, anakütle ortalaması ve varyansı örneklemden tahmin edildiğinde kullanılan bir uyum iyiliği testidir. Parametreler (ortalama ve varyans) verinin kendisinden hesaplandığında, oluşturulan teorik normal dağılım eğrisi gözlemlere adeta 'özel olarak dikilmiş bir kıyafet' gibi uyum sağlar. Bu durum, ampirik kümülatif dağılım ile teorik kümülatif dağılım arasındaki maksimum dikey sapmanın (D istatistiği) yapay olarak daha küçük hesaplanmasına neden olur. Bu küçülmüş D istatistiğini, parametrelerin önceden bilindiği durumlar için tasarlanmış ve dolayısıyla daha büyük olan standart Kolmogorov-Smirnov (K-S) kritik değerleriyle karşılaştırırsak, hesaplanan değer kritik eşiği kolay kolay aşamaz. H0 hipotezini reddetmek çok zorlaşır. Bunun doğrudan bir sonucu olarak, test aşırı tutucu (conservative) bir nitelik kazanır; I. tip hata (doğru H0'ı reddetme) olasılığı belirlenen nominal alfa düzeyinin (örneğin %5) oldukça altına düşer ve gerçekten normal olmayan bir dağılımı yakalama ihtimali, yani testin gücü (power) azalır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart Kolmogorov-Smirnov (K-S) ile Lilliefors testleri arasındaki teorik farkı analiz etmek.
Standart K-S testi parametrelerin bilindiğini varsayar. Lilliefors ise ortalama ve varyansın örneklemden tahmin edildiği durumlarda K-S'nin düzeltilmiş halidir.
Kullanılan tablonun istatistiksel sonuçlara etkisini saptamak için temel teoriyi hatırlamak gerekir.
2
Parametre tahmininin test istatistiği (D) üzerindeki matematiksel etkisini değerlendirmek.
Parametreler veriden hesaplandığında, teorik kümülatif dağılım eğrisi verilere en iyi uyacak (fit edecek) şekilde konumlanır. Bu durum, ampirik dağılımla teorik dağılım arasındaki maksimum dikey farkı (D) olduğundan daha küçük gösterir.
Teorik dağılımın veriye uydurulması her zaman sapmaları en aza indirir.
3
Hesaplanan küçülmüş D istatistiğini standart K-S kritik değerleriyle karşılaştırmanın sonucunu belirlemek.
Standart K-S tablosundaki kritik değerler, parametrelerin bilindiği (ve D'nin doğal olarak daha büyük çıkmasının beklendiği) duruma göre hesaplanmıştır. Dolayısıyla Lilliefors tablosundaki kritik değerlerden daha büyüktür.
Küçük bir test istatistiğini, büyük bir kritik değer eşiğini aşmaya zorlamak istatistiksel testin doğasını değiştirir.
4
Bu tutarsızlığın H0 hipotezi ve testin gücü (power) üzerindeki nihai etkisini tanımlamak.
H0 hipotezini reddetmek yapay bir şekilde zorlaştığı için, doğru olan bir H0 hipotezini yanlışlıkla reddetme ihtimali (I. tip hata) nominal anlamlılık düzeyinin çok altına iner. Aynı zamanda, normal olmayan verilerde normallikten sapmayı tespit etme ihtimali de (testin gücü) şiddetle düşer.
Test aşırı tutucu (conservative) bir yapıya bürünerek geçerliliğini ve ayırt ediciliğini yitirir.

Anahtar Kavram

Lilliefors Testinde Parametre Tahmininin Etkisi ve Kritik Değerlerin Belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Lilliefors Testi

Bu konudan daha fazla soru