Bir araştırmacı, n=24 gözlem kullanarak Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon modelini En K… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $n=24$ gözlem kullanarak $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon$ modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle matris formunda tahmin etmektedir. Analiz sonucunda aşağıdaki matris değerleri ve artık kareler toplamı ( $e'e$ ) elde edilmiştir:

(X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 \\ -0,1 & 0,2 \\ \end{pmatrix}, \quad X'Y = \begin{bmatrix} 20 \\ 30 \\ \end{bmatrix}, \quad e'e = 110

Buna göre, eğim katsayısı tahmini ( $\hat{\beta}_1$ ) ve bu katsayının standart hatası ( $SE(\hat{\beta}_1)$ ) değerleri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$\hat{\beta}_1 = 4$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,00$ Cevap
B
$\hat{\beta}_1 = 5$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,00$
C
$\hat{\beta}_1 = 4$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,41$
D
$\hat{\beta}_1 = 4$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 0,96$
E
$\hat{\beta}_1 = 6$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,10$

Cevap

Eğim katsayısı tahmini 4 ve bu katsayının standart hatası 1,00 olarak hesaplanır.

Matris çarpımı sonucunda eğim katsayısı tahmini

\hat{\beta}_1 = 4

olarak bulunur. Hata varyansı tahmini için Artık Kareler Toplamı

n-2=22

serbestlik derecesine bölünerek 5 değeri elde edilir. Bu varyans değeri, ters matrisin eğim katsayısına karşılık gelen

0,2

elemanıyla çarpıldığında katsayı varyansı 1, bunun karekökü olan standart hata ise 1,00 olur.

Adım Adım Çözüm

Parametre tahmin vektörünü (

\hat{\beta}

) hesaplayınız.

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 \\ -0,1 & 0,2 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 \\ 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0,4 \times 20) + (-0,1 \times 30) \\ (-0,1 \times 20) + (0,2 \times 30) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}

EKK tahmincileri matris formunda

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

formülüyle hesaplanır. Burada vektörün ilk elemanı sabit terimi (

\hat{\beta}_0

), ikinci elemanı ise eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) verir.

Hata terimlerinin varyans tahminini (

\hat{\sigma}^2

) hesaplayınız.

\hat{\sigma}^2 = \frac{e'e}{n-k-1} = \frac{110}{24-1-1} = \frac{110}{22} = 5

Hata varyansının sapmasız tahmini için Artık Kareler Toplamı, gözlem sayısından parametre sayısı çıkarılarak elde edilen serbestlik derecesine bölünür.

Eğim katsayısının varyansını ve standart hatasını bulunuz.

Var(\hat{\beta}_1) = \hat{\sigma}^2 \times ((X'X)^{-1})_{22} = 5 \times 0,2 = 1,00

SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{1,00} = 1,00

Katsayıların varyans-kovaryans matrisi

Var(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X'X)^{-1}

formülüyle tanımlanır. Eğim katsayısının varyansı, hata varyansı ile ters matrisin ilgili köşegen elemanının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

EKK Matris Çözümü ve Gauss-Markov Özellikleri

Daha Fazla Pratik

EKK tahmincilerinin Gauss-Markov varsayımları altında BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahminci) olma özelliklerini tekrar ediniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru