Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bir araştırmacı, n=23n = 23 gözlem ve 22 bağımsız değişken kullanarak sabit terimli bir çoklu doğrusal regresyon modeli (Y=Xβ+ϵ)(Y = X\beta + \epsilon) tahmin etmiştir. Analiz sonucunda aşağıdaki matris değerleri ve hata kareler toplamı (e′e)(e'e) elde edilmiştir:

(X′X)−1=[0,50,10,20,10,40,00,20,00,3],X′Y=[102030],e′e=100(X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,5 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,4 & 0,0 \\ 0,2 & 0,0 & 0,3 \end{bmatrix}, \quad X'Y = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 30 \end{bmatrix}, \quad e'e = 100

Buna göre, modelin birinci bağımsız değişkenine ait eğim katsayısı (β^1)(\hat{\beta}_1) ve hata terimi varyansının sapmasız tahmin edicisi (σ^2)(\hat{\sigma}^2) değerleri aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

  1. 99 ve 5,005,00Cevap
  2. B
    1313 ve 5,005,00
  3. C
    99 ve 4,764,76
  4. D
    1111 ve 5,005,00
  5. E
    99 ve 4,354,35

Cevap

Eğim katsayısı β^1=9\hat{\beta}_1 = 9 ve hata varyansı σ^2=5,00\hat{\sigma}^2 = 5,00 olan seçenek doğrudur.
Doğru cevap olan seçenek, β^1\hat{\beta}_1 katsayısını matris çarpımının ikinci satır elemanı olarak 0,1(10)+0,4(20)+0,0(30)=90,1(10) + 0,4(20) + 0,0(30) = 9 şeklinde doğru hesaplamıştır. Ayrıca hata varyansını, n=23n=23 gözlemden 33 parametreyi çıkararak elde edilen 2020 serbestlik derecesine bölerek 100/20=5,00100/20 = 5,00 sonucuna ulaşmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayı vektörünü (β^)(\hat{\beta}) hesaplayınız.
β^=(X′X)−1X′Y=[0,50,10,20,10,40,00,20,00,3][102030]=[13911]\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y = \begin{bmatrix} 0,5 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,4 & 0,0 \\ 0,2 & 0,0 & 0,3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 9 \\ 11 \end{bmatrix}
En Küçük Kareler (EKK) tahmincileri matrisel olarak β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y formülüyle bulunur.
2
Vektörden β^1\hat{\beta}_1 değerini belirleyiniz.
β^=[β^0,β^1,β^2]′\hat{\beta} = [\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2]' olduğu için β^1=9\hat{\beta}_1 = 9 olur.
Vektörün ikinci elemanı birinci bağımsız değişkenin eğim katsayısını temsil eder.
3
Serbestlik derecesini (sd)(sd) hesaplayınız.
sd=n−k−1=23−2−1=20sd = n - k - 1 = 23 - 2 - 1 = 20
Çoklu regresyonda hata varyansının sapmasız olması için gözlem sayısından toplam parametre sayısı (bağımsız değişkenler + sabit terim) çıkarılmalıdır.
4
Hata varyansını (σ^2)(\hat{\sigma}^2) hesaplayınız.
σ^2=e′en−k−1=10020=5,00\hat{\sigma}^2 = \frac{e'e}{n-k-1} = \frac{100}{20} = 5,00
Sapmasız varyans tahmini, hata kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin matrisel çözümü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y formülüyle gerçekleştirilir ve hata varyansının sapmasız tahmini için payda n−k−1n-k-1 olmalıdır.

İpuçları

1
Katsayı vektörünü bulmak için (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi ile X′YX'Y vektörünü çarpın.
2
Elde ettiğiniz katsayı vektörü sırasıyla β0\beta_0, β1\beta_1 ve β2\beta_2 değerlerini verir.
3
Hata varyansını bulurken paydada nn eksi toplam parametre sayısını (2+1=3)(2+1=3) kullanmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Varyans-Kovaryans matrisini kullanarak katsayıların standart hatalarını hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bu konudan daha fazla soru