Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Gauss-Markov varsayımlarının sağlandığı sabit terimli bir çoklu doğrusal regresyon modelinde n=25n=25 gözlem ve 2 bağımsız değişken (X1,X2X_1, X_2) bulunmaktadır. Model Y=Xβ+ϵY = X\beta + \epsilon matris formunda ifade edildiğinde, (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi ve X′YX'Y vektörü şu şekilde elde edilmiştir:

(X′X)−1=[0,20,10,00,10,5−0,10,0−0,10,4],X′Y=[20105](X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,2 & 0,1 & 0,0 \\ 0,1 & 0,5 & -0,1 \\ 0,0 & -0,1 & 0,4 \end{bmatrix}, \quad X'Y = \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 5 \end{bmatrix}

Bu bilgilere göre, En Küçük Kareler (EKK) tahmin vektörü β^\hat{\beta}'nın hesaplanma formülü, birinci bağımsız değişkene ait katsayı tahmini (β^1\hat{\beta}_1) ve hata varyansının tahmini için kullanılan serbestlik derecesi (sdsd) aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

  1. β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y ; β^1=6,5\hat{\beta}_1 = 6,5 ; sd=22sd = 22Cevap
  2. B
    β^=X′Y(X′X)−1\hat{\beta} = X'Y(X'X)^{-1} ; β^1=6,5\hat{\beta}_1 = 6,5 ; sd=22sd = 22
  3. C
    β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y ; β^1=5,0\hat{\beta}_1 = 5,0 ; sd=22sd = 22
  4. D
    β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y ; β^1=6,5\hat{\beta}_1 = 6,5 ; sd=23sd = 23
  5. E
    β^=(X′X)X′Y\hat{\beta} = (X'X)X'Y ; β^1=7,0\hat{\beta}_1 = 7,0 ; sd=24sd = 24

Cevap

En Küçük Kareler tahmin vektörü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y formülüyle hesaplanır; buna göre X1X_1 değişkenine ait katsayı tahmini 6,5 ve serbestlik derecesi 22'dir.
Doğru seçenek, EKK tahmincilerinin temel matris formülü olan β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y ifadesini içerir. Hesaplama adımlarında, birinci bağımsız değişkene ait katsayı (β^1\hat{\beta}_1), ters matrisin ikinci satırı ile X′YX'Y vektörünün çarpılmasıyla 6,5 olarak bulunur. Serbestlik derecesi ise toplam 25 gözlemden, modeldeki 3 parametrenin (sabit terim ve 2 bağımsız değişken) çıkarılmasıyla 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
EKK tahmin vektörü formülünün belirlenmesi
β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y
Çoklu regresyon modelinde hata kareler toplamını minimize eden parametre vektörü normal denklemler aracılığıyla bu matris formuyla ifade edilir.
2
Birinci bağımsız değişkene ait β^1\hat{\beta}_1 katsayısının hesaplanması
β^1=(0,1×20)+(0,5×10)+(−0,1×5)=2+5−0,5=6,5\hat{\beta}_1 = (0,1 \times 20) + (0,5 \times 10) + (-0,1 \times 5) = 2 + 5 - 0,5 = 6,5
Matris gösteriminde katsayı vektörünün ikinci elemanı (β^1\hat{\beta}_1), ters matrisin ikinci satırı ile X′YX'Y sütun vektörünün iç çarpımıdır.
3
Hata varyansı tahmini için serbestlik derecesinin (sd) hesaplanması
sd=n−p=25−3=22sd = n - p = 25 - 3 = 22
Serbestlik derecesi, gözlem sayısından (nn) tahmin edilen toplam parametre sayısının (pp) çıkarılmasıyla bulunur. Bu modelde sabit terim dahil 3 parametre (β0,β1,β2\beta_0, \beta_1, \beta_2) vardır.

Anahtar Kavram

EKK tahmincileri matris formunda β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y olarak ifade edilir ve Gauss-Markov varsayımları altında BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahminci) özelliğine sahiptir.

Alternatif Yöntem

Vektör çarpımı yerine her bir katsayı için ayrı ayrı matris satırlarını kullanarak katsayıları tek tek kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bu konudan daha fazla soru