Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Sabit terimli bir basit doğrusal regresyon modeli Y=β0+β1X1+ϵY = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon, matris formunda Y=Xβ+ϵY = X\beta + \epsilon olarak ifade edilmektedir. n=25n = 25 gözlem içeren bu modelin tahmini için hesaplanan (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi ve X′YX'Y vektörü aşağıda verilmiştir:

(X′X)−1=[0,2−0,1−0,10,5],X′Y=[5020](X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,2 & -0,1 \\ -0,1 & 0,5 \end{bmatrix}, \quad X'Y = \begin{bmatrix} 50 \\ 20 \end{bmatrix}

Buna göre, modeldeki eğim parametresinin (β^1\hat{\beta}_1) En Küçük Kareler (EKK) tahmin değeri kaçtır?

  1. 5Cevap
  2. B
    8
  3. C
    12
  4. D
    23
  5. E
    30

Cevap

Modeldeki eğim katsayısının (β^1\hat{\beta}_1) EKK tahmin değeri 5'tir.
Verilen matrislerin çarpımı sonucunda β^\hat{\beta} vektörü [8,5]′[8, 5]' olarak hesaplanır. Soruda istenen eğim katsayısı β^1\hat{\beta}_1 olduğu için sonuç 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
EKK tahminci vektörü için gerekli matris formülünü belirle.
β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y
Çoklu doğrusal regresyonda parametrelerin matris çözümü bu temel formül ile gerçekleştirilir.
2
Verilen matris ve vektörü çarparak parametre vektörünü hesapla.
[β^0β^1]=[0,2−0,1−0,10,5][5020]\begin{bmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,2 & -0,1 \\ -0,1 & 0,5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 50 \\ 20 \end{bmatrix}
Vektörün ilk elemanı sabit terimi, ikinci elemanı ise ilk bağımsız değişkenin eğim katsayısını verir.
3
Eğim katsayısı (β^1\hat{\beta}_1) için satır ve sütun çarpımını gerçekleştir.
β^1=(−0,1×50)+(0,5×20)=−5+10=5\hat{\beta}_1 = (-0,1 \times 50) + (0,5 \times 20) = -5 + 10 = 5
Matris çarpımı kuralları gereği, ters matrisin ikinci satırı ile X′YX'Y vektörü çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyon modellerinde parametre vektörü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y formülüyle tahmin edilir ve Gauss-Markov varsayımları altında bu tahminciler 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici' (BLUE) özelliğine sahiptir.

İpuçları

1
EKK tahmin vektörünü bulmak için (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi ile X′YX'Y vektörünü çarpmanız gerekir.
2
Eğim katsayısı β^1\hat{\beta}_1, elde edeceğiniz sonuç vektörünün ikinci elemanıdır.

Daha Fazla Pratik

Varyans-kovaryans matrisini kullanarak katsayıların standart hatalarının hesaplanması konusuna çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bu konudan daha fazla soru