Examkin

Soru

Zorluk: KolayEKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Çoklu doğrusal regresyon analizinde gözlem değerleri Y=Xβ+ϵY = X\beta + \epsilon matris modeliyle ifade edilmektedir. Burada nn gözlem sayısını, kk ise modeldeki bağımsız değişken sayısını (sabit terim hariç) temsil etmektedir. Sabit terimli bir modelde (X′X)(X'X) matrisi

X′X=[n∑Xi∑Xi∑Xi2]X'X = \begin{bmatrix} n & \sum X_{i} \\ \sum X_{i} & \sum X_{i}^2 \end{bmatrix}

gibi bir yapıya sahip olduğuna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle parametrelerin tahmin edilmesi süreciyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Parametre tahmin vektörü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y eşitliği ile hesaplanır.Cevap
  2. B
    Matris çarpım kuralları gereği parametre tahmin vektörü β^=(X′X)−1Y′X\hat{\beta} = (X'X)^{-1} Y'X formülüyle de aynı sonucu verir.
  3. C
    Hata varyansının (σ2\sigma^2) sapmasız tahmini için Artık Kareler Toplamı (AKTAKT), serbestlik derecesi olan n−k−1n-k-1 yerine sadece gözlem sayısı nn değerine bölünür.
  4. D
    Gauss-Markov teoremi uyarınca EKK tahmin edicileri her zaman en küçük varyanslı sapmalı tahmin edicilerdir.
  5. E
    Bağımsız değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı olduğunda (X′X)(X'X) matrisinin determinantı sıfırdan farklı olur ve tersi kolayca alınabilir.

Cevap

Parametre tahmin vektörü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y eşitliği ile hesaplanır.
Çoklu doğrusal regresyon modelinde EKK tahmin edicileri, matris formunda minimize edilen hata kareler toplamından türetilen normal denklemlerin (X′X)β^=X′Y(X'X)\hat{\beta} = X'Y çözülmesiyle elde edilir. Bu çözümde β^\hat{\beta} vektörü, (X′X)(X'X) matrisinin tersi ile X′YX'Y vektörünün çarpımına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin matris formunda tanımlanması
Y=Xβ+ϵY = X\beta + \epsilon
Regresyon modelini matris cebiriyle ifade etmek çoklu değişkenli çözümü kolaylaştırır.
2
Hata Kareler Toplamının (HKT) minimize edilmesi
∑e2=e′e=(Y−Xβ^)′(Y−Xβ^)\sum e^2 = e'e = (Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})
EKK yönteminin temel amacı hataların kareleri toplamını minimum yapacak parametreleri bulmaktır.
3
Normal denklemlerin türetilmesi
(X′X)β^=X′Y(X'X)\hat{\beta} = X'Y
Minimize edilmiş fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde bu temel matris denklemi elde edilir.
4
Tahmin vektörünün yalnız bırakılması
β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y
Eşitliğin her iki tarafı soldan (X′X)(X'X) matrisinin tersi ile çarpılarak çözüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi Matris Çözümü

İpuçları

1
EKK yönteminde parametreleri bulmak için normal denklemleri (X′Xβ^=X′YX'X\hat{\beta} = X'Y) hatırlayın.
2
Matris işlemlerinde bir değişkeni yalnız bırakmak için ters matris ile çarpma işlemi yapılır.

Daha Fazla Pratik

Basit regresyon modelindeki b1=Cov(X,Y)Var(X)b_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)} formülünün bu matrisel çözümün özel bir durumu olduğunu kanıtlamaya çalışın.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bu konudan daha fazla soru