Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBernoulli Dağılımı

Bir siber güvenlik sisteminde, ağa yapılan rastgele bir bağlantı isteğinin 'kötü niyetli (saldırı)' olma olasılığı p∈(0,1)p \in (0,1) olarak modellenmiştir. Sisteme gelen tek bir bağlantı isteği incelendiğinde, isteğin kötü niyetli olması durumu X=1X = 1, normal (zararsız) olması durumu ise X=0X = 0 olarak tanımlanan bir XX rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Buna göre, XX rastgele değişkeninin beklenen değeri E(X)E(X), varyansı Var(X)Var(X) ve moment çıkaran fonksiyonu MX(t)M_X(t) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. p,p(1−p),(1−p)+petp \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + p e^tCevap
  2. B
    p,p2,(1−p)+petp \quad , \quad p^2 \quad , \quad (1-p) + p e^t
  3. C
    p,p(1+p),p(1−p)etp \quad , \quad p(1+p) \quad , \quad p(1-p) e^t
  4. D
    p,p,p1−(1−p)etp \quad , \quad \sqrt{p} \quad , \quad \frac{p}{1-(1-p)e^t}
  5. E
    1−p,p(1−p),p+(1−p)et1-p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad p + (1-p) e^t

Cevap

Beklenen değerin pp, varyansın p(1−p)p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyonun (1−p)+pet(1-p) + p e^t olduğu seçenektir.
Bernoulli dağılımında değişken yalnızca 1 (başarı) ve 0 (başarısızlık) değerlerini alır. Tanım gereği beklenen değer E(X)=pE(X)=p ve varyans Var(X)=p(1−p)Var(X)=p(1-p) olarak hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise E(etX)E(e^{tX}) tanımından yola çıkılarak ardışık işlemler sonucunda (1−p)+pet(1-p) + p e^t formunda bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) belirlemek.
P(X=1)=pP(X=1) = p ve P(X=0)=1−pP(X=0) = 1-p olur.
Tanımlanan rastgele değişken yalnızca 0 ve 1 değerlerini alan tek bir denemeyi temsil ettiğinden Bernoulli dağılımına sahiptir.
2
Beklenen değeri hesaplamak.
E(X)=∑xP(X=x)=1⋅p+0⋅(1−p)=pE(X) = \sum x P(X=x) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p elde edilir.
Beklenen değer, rastgele değişkenin alabileceği değerler ile bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
3
Varyansı hesaplamak.
E(X2)=12⋅p+02⋅(1−p)=pE(X^2) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p bulunur. Buradan Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p) sonucuna ulaşılır.
Varyans formülü genel özellikleri kullanılarak hesaplanmalıdır.
4
Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) bulmak.
MX(t)=E(etX)=∑etxP(X=x)=et⋅1⋅p+et⋅0⋅(1−p)=(1−p)+petM_X(t) = E(e^{tX}) = \sum e^{tx} P(X=x) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot (1-p) = (1-p) + p e^t elde edilir.
MGF'nin temel tanımı beklenen değer operatörü üzerinden E(etX)E(e^{tX}) eşitliği ile bulunur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Temel Parametreleri
Bu soruyu puanla

Konular

Bernoulli Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru