Examkin

Soru

Zorluk: Çok zor(M/M/1) Tek Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemine (EBYS) evrak gelişleri, saatte ortalama 100100 evrak olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Tek kanallı olan bu sistemde evrakların işlenme süreleri üstel dağılım göstermektedir (M/M/1 modeli).

Kurumun sistem analistleri, kapasite planlaması yaparken aşağıdaki maliyet fonksiyonunu kullanmaktadır:
- Sistemin işlem kapasitesini (hizmet hızı μ\mu) artırmanın maliyeti: Her 11 birimlik (evrak/saat) hız artışı için saatte 100100 TL
- Sistemde bekleyen ve işlem gören (kuyrukta ve işlemde olan) her bir evrakın kurum için yarattığı toplam gecikme maliyeti: Saatte 900900 TL

*(Not: Toplam maliyet fonksiyonu, birim hizmet maliyeti ile μ\mu'nün çarpımı ve birim gecikme maliyeti ile sistemdeki ortalama evrak sayısının (LL) çarpımının toplamından oluşmaktadır.)*

Buna göre, sistemin toplam saatlik maliyetini en küçükleyen (minimize eden) optimum hizmet hızı (μ\mu) saatte kaç evrak olmalıdır?

  1. A
    103103
  2. B
    109109
  3. 130130Cevap
  4. D
    400400
  5. E
    10001000

Cevap

Sistemin toplam saatlik maliyetini en küçükleyen optimum hizmet hızı saatte 130130 evrak olmalıdır.
Toplam maliyet fonksiyonu doğru bir şekilde TC(μ)=100μ+900(100/(μ−100))TC(\mu) = 100\mu + 900(100/(\mu-100)) olarak ifade edilip, bu fonksiyonun μ\mu'ye göre türevi alındığında 100−90000/(μ−100)2=0100 - 90000/(\mu-100)^2 = 0 denklemi elde edilir. Buradan (μ−100)2=900(\mu-100)^2 = 900 bulunur ve μ>100\mu > 100 kısıtıyla çözüldüğünde optimum hizmet hızının saatte 130130 evrak olduğu hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sistemdeki ortalama evrak sayısı (LL) için (M/M/1) kuyruk modeli formülünü yazmak.
L=λμ−λ=100μ−100L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{100}{\mu - 100}
Gecikme maliyeti sistemde bulunan (kuyruk + işlem) evrak sayısına göre hesaplandığından LL formülüne ihtiyaç vardır.
2
Verilen bilgilere göre Toplam Saatlik Maliyet (TCTC) fonksiyonunu μ\mu cinsinden oluşturmak.
TC(μ)=100μ+900L=100μ+900(100μ−100)=100μ+90000μ−100TC(\mu) = 100\mu + 900L = 100\mu + 900 \left( \frac{100}{\mu - 100} \right) = 100\mu + \frac{90000}{\mu - 100}
Optimizasyon yapabilmek için toplam maliyeti tek bir değişkene (μ\mu) bağlı bir denklem haline getirmek gerekir.
3
Maliyet fonksiyonunun minimum noktasını bulmak için μ\mu'ye göre birinci türevini almak.
d(TC)dμ=100−90000(μ−100)2\frac{d(TC)}{d\mu} = 100 - \frac{90000}{(\mu - 100)^2}
Bir fonksiyonun minimum veya maksimum noktasında birinci türevi sıfıra eşittir.
4
Türevi sıfıra eşitleyerek optimum μ\mu değerini çözmek.
100=90000(μ−100)2  ⟹  (μ−100)2=900  ⟹  μ−100=30  ⟹  μ=130100 = \frac{90000}{(\mu - 100)^2} \implies (\mu - 100)^2 = 900 \implies \mu - 100 = 30 \implies \mu = 130
Hizmet hızı (μ\mu) varış hızından (λ=100\lambda=100) büyük olmalıdır, bu nedenle karekök işleminde pozitif değer (+30+30) dikkate alınarak denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Kuyruk Modellerinde Maliyet Optimizasyonu
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1) Tek Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru