Bir enerji uzmanı, yeni nesil bir güneş panelinin günlük ortalama enerji üretim miktarını … — KPSS İstatistik

Bir enerji uzmanı, yeni nesil bir güneş panelinin günlük ortalama enerji üretim miktarını ( $\mu$ , kWh) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla üretim bandından rastgele $n=16$ adet panel seçerek teste tabi tutmuştur. Panellerin günlük enerji üretim miktarlarının normal dağılıma sahip olduğu, ancak kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) bilinmediği varsayılmaktadır. Test sonucunda örneklem ortalaması $\bar{x} = 2.40$ kWh ve örneklem standart sapması $s = 0.40$ kWh olarak hesaplanmıştır.

Uzman, kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%90$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yaparken yanlışlıkla standart normal dağılım ( $Z$ ) tablosunu kullanarak bir hata payı (margin of error) hesaplamış ve hatalı bir güven aralığı bulmuştur.

Buna göre, uzmanın hesaplaması gereken doğru hata payı ile elde edilen güven aralığına dair yapılması gereken doğru kavramsal yorum aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

(Hesaplamalarınızda $z_{0.05} = 1.645$ , $t_{15, 0.05} = 1.753$ , $t_{16, 0.05} = 1.746$ değerlerini kullanınız.)

$0.1753$ / Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının $\%90$ 'ının gerçek kitle ortalamasını ( $\mu$ ) kapsaması beklenir.Cevap
B
$0.1753$ / Gerçek kitle ortalamasının ( $\mu$ ) hesaplanan bu belirli aralığın içine düşme olasılığı $\%90$ 'dır.
C
$0.1645$ / Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının $\%90$ 'ının gerçek kitle ortalamasını ( $\mu$ ) kapsaması beklenir.
D
$0.1645$ / Gerçek kitle ortalamasının ( $\mu$ ) hesaplanan bu belirli aralığın içine düşme olasılığı $\%90$ 'dır.
E
$0.1746$ / Gerçek kitle ortalamasının ( $\mu$ ) hesaplanan bu belirli aralığın içine düşme olasılığı $\%90$ 'dır.

Cevap

Hata payı

0.1753

olmalı ve kavramsal yorum 'Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının %90'ının gerçek kitle ortalamasını kapsaması beklenir' şeklinde olmalıdır.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediğinden,

\mu

tahmini için serbestlik derecesi

n-1=15

olan

t

dağılımı kullanılmalıdır. Doğru kritik değer

t_{15, 0.05} = 1.753

'tür. Hata payı formülü gereği:

1.753 \times (0.40 / \sqrt{16}) = 1.753 \times 0.10 = 0.1753

bulunur. Kavramsal olarak, frekansçı istatistikte güven düzeyi, spesifik bir aralığın sabit olan gerçek parametreyi içerme olasılığı değil, aynı yöntemle oluşturulacak çok sayıdaki ardışık güven aralığının yüzde kaçının gerçek parametreyi kapsayacağının teorik bir ölçüsüdür.

Adım Adım Çözüm

Örneklem dağılımının standart hatasını (standart sapmasını) hesapla.

SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.40}{\sqrt{16}} = \frac{0.40}{4} = 0.10

Hata payını bulmak için standart hata değerine ihtiyaç vardır.

Kullanılması gereken doğru teorik dağılımı ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediği için

t

dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi

v = n - 1 = 15

\alpha = 0.10

için tek kuyrukta alan

0.05

olup

t_{15, 0.05} = 1.753

'tür.

Kitle varyansının bilinmemesi ve örneklem standart sapmasının (

s

) kullanılması, Z yerine T dağılımını zorunlu kılar.

Doğru hata payını (margin of error) hesapla.

Hata Payı = t_{15, 0.05} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.753 \times 0.10 = 0.1753

Güven aralığının genişliğinin yarısı hata payını verir.

Güven düzeyinin doğru frekansçı (frequentist) istatistiksel yorumunu tespit et.

Yorum, spesifik bir aralığın

\mu

'yü içerme olasılığı olarak DEĞİL, tekrar eden örnekleme sürecinin kapsama oranı olarak yapılmalıdır.

Klasik istatistikte parametre (

\mu

) sabit bir değerdir. Hesaplanmış bir aralık parametreyi ya içerir ya içermez (olasılık %0 veya %100). %90 güven düzeyi, tahmin yönteminin uzun vadedeki başarısını ifade eder.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı bilinmediğinde t dağılımı ile hata payı hesabı ve güven aralığı kavramının doğru yorumlanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru