Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMomentler Yöntemi (Method of Moments)

Bir bölgedeki kamu projelerinin tamamlanma süreleri (ay cinsinden), α\alpha (şekil) ve β\beta (ölçek) parametreli bir Gamma dağılımı ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, nn adet projenin tamamlanma sürelerini rastgele seçerek birinci örneklem momentini m1=1n∑i=1nXim_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i ve ikinci örneklem momentini m2=1n∑i=1nXi2m_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 olarak hesaplamıştır.

Gamma dağılımının beklenen değeri E(X)=αβE(X) = \alpha\beta ve varyansı Var(X)=αβ2Var(X) = \alpha\beta^2 olduğuna göre, α\alpha parametresi için momentler yöntemi tahmin edicisi (α^\hat{\alpha}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. m12m2−m12\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}Cevap
  2. B
    m2−m12m1\frac{m_2 - m_1^2}{m_1}
  3. C
    m12m2\frac{m_1^2}{m_2}
  4. D
    m2−m12m12\frac{m_2 - m_1^2}{m_1^2}
  5. E
    m1m2−m12\frac{m_1}{m_2 - m_1^2}

Cevap

m12m2−m12\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2} ifadesi α\alpha parametresi için doğru momentler yöntemi tahmin edicisidir.
Momentler yönteminde, parametre sayısı kadar kitle momenti örneklem momentine eşitlenerek denklem sistemi çözülür. Gamma dağılımı için teorik momentler hesaplandığında; E(X)=αβ=m1E(X) = \alpha\beta = m_1 ve E(X2)=Var(X)+E(X)2=αβ2+α2β2=m2E(X^2) = Var(X) + E(X)^2 = \alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2 = m_2 denklemleri kurulur. Birinci denklemden çekilen β=m1/α\beta = m_1/\alpha ifadesi ikinci denklemde yerine konup işlemler sadeleştirildiğinde doğrudan α=m12m2−m12\alpha = \frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle momentlerini dağılımın parametreleri cinsinden ifade edin.
E(X)=αβE(X) = \alpha\beta ve E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=αβ2+(αβ)2=αβ2+α2β2E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \alpha\beta^2 + (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2
Momentler yönteminde öncelikle teorik kitle momentleri yazılmalıdır.
2
Birinci ve ikinci kitle momentlerini örneklem momentlerine (m1m_1 ve m2m_2) eşitleyin.
1) αβ=m1\alpha\beta = m_1
2) αβ2+α2β2=m2\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2 = m_2
Parametreleri tahmin edebilmek için teorik momentler ile hesaplanan örneklem momentleri eşitlenir.
3
Oluşan denklem sisteminde β\beta'yı yalnız bırakıp ikinci denklemde yerine yazın.
Birinci denklemden β=m1α\beta = \frac{m_1}{\alpha} bulunur. İkinci denklemde yerine yazılırsa: α(m1α)2+α2(m1α)2=m2\alpha\left(\frac{m_1}{\alpha}\right)^2 + \alpha^2\left(\frac{m_1}{\alpha}\right)^2 = m_2
Sistemdeki iki bilinmeyenden birini yok ederek α\alpha'yı tek bilinmeyen olarak elde etmek için.
4
Elde edilen son denklemi α\alpha için çözün.
m12α+m12=m2  ⟹  m12α=m2−m12  ⟹  α=m12m2−m12\frac{m_1^2}{\alpha} + m_1^2 = m_2 \implies \frac{m_1^2}{\alpha} = m_2 - m_1^2 \implies \alpha = \frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}
İstenilen α\alpha parametresinin tahmin edicisini açık formda matematiksel olarak yazmak için.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Tahmin (Method of Moments Estimation)
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

Bu konudan daha fazla soru