Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetim biriminde, işyeri sicil dosyalarının incelenmesi … — KPSS İstatistik

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetim biriminde, işyeri sicil dosyalarının incelenmesi sırasında karşılaşılan 'kayıt dışı istihdam tespiti' ( $A$ olayı) ile 'eksik prim ödemesi' ( $B$ olayı) durumlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olduğu ve her iki olayın da gerçekleşme olasılığının sıfırdan büyük olduğu ( $P(A) > 0, P(B) > 0$ ) saptanmıştır. Raporda ayrıca, bu denetimlerde harcanan süreleri temsil eden $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryansın sıfır ( $Cov(X,Y) = 0$ ) olduğu belirtilmiştir.

Olasılık teorisi kavramları dikkate alındığında, bu istatistiksel modelle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$A$ ve $B$ olaylarının olasılıkları sıfırdan büyük ve bu olaylar bağımsız olduğundan, söz konusu iki olay kesinlikle ayrık (ayrışık) olaylar değildir.Cevap
B
$A$ ve $B$ olayları birbirinden bağımsız kabul edildiği için, incelenen bir dosyada her iki usulsüzlüğün aynı anda tespit edilme olasılığı sıfırdır.
C
$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır olarak hesaplandığından, bu iki değişken birbirinden kesinlikle bağımsızdır.
D
$B$ olayı tespit edildiğinde $A$ 'nın da gerçekleşme olasılığını ifade eden $P(A|B)$ değeri hesaplanırken, iki olayın kesişim olasılığı kural gereği doğrudan $P(A)$ değerine bölünmelidir.
E
Bu iki olaydan en az birinin tespit edilme olasılığı olan $P(A \cup B)$ , olaylar bağımsız olduğundan doğrudan $P(A) + P(B)$ formülü ile hesaplanır.

Cevap

Sıfırdan büyük olasılıklı iki bağımsız olayın kesişim olasılığı da sıfırdan büyük olacağı için bu olaylar ayrık olamazlar seçeneği doğrudur.

İki olayın bağımsız olması, bu olayların kesişim (birlikte gerçekleşme) olasılığının, kendi marjinal olasılıklarının çarpımına eşit olması demektir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Soru metninde olayların olasılıklarının sıfırdan büyük olduğu (

P(A)>0

P(B)>0

) verilmiştir. Bu durumda iki pozitif değerin çarpımı da daima sıfırdan büyük olmak zorundadır (

P(A \cap B) > 0

). Birbiriyle ayrık (mutually exclusive) olan olayların ise ortak hiçbir noktası bulunmadığından kesişim olasılıkları mutlak sıfırdır. Kesişim olasılığı sıfırdan büyük olarak hesaplanan bu iki olayın ayrık olması matematiksel olarak imkânsızdır.

Adım Adım Çözüm

A

B

olaylarının bağımsızlık tanımını ve ayrıklık şartını matematiksel olarak ifade edin.

Bağımsızlık şartı:

P(A \cap B) = P(A)P(B)

. Ayrıklık şartı:

P(A \cap B) = 0

Olayların özelliklerini birbiriyle kıyaslayabilmek ve yorum yapabilmek için teorik tanımlara ihtiyaç vardır.

Verilen

P(A) > 0

P(B) > 0

koşullarını bağımsızlık formülünde yerine koyarak kesişim olasılığını inceleyin.

İki pozitif sayının çarpımı her zaman pozitif olacağından,

P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0

sonucu elde edilir.

Olayların aynı anda gerçekleşip gerçekleşemeyeceğini belirlemek için kesişim olasılığının sıfır olup olmadığı test edilmelidir.

Bulunan kesişim olasılığını ayrıklık tanımıyla karşılaştırarak yorumlayın.

P(A \cap B) > 0

olduğu için olaylar aynı anda gerçekleşebilir, yani ayrık (kesişimleri boş küme) değildirler.

Bağımsız ve sıfırdan büyük olasılığa sahip olayların teorik olarak neden ayrık olamayacağını ispatlamak için.

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisini değerlendirerek çeldiricileri eleyin.

Cov(X,Y) = 0

olması değişkenlerin doğrusal bağımlı olmadığını gösterir, ancak bu durum onların kesinlikle bağımsız olduğu anlamına gelmez.

Kovaryans ve bağımsızlık kavramları arasındaki tek yönlü ilişkiyi hatırlayarak hatalı çıkarımları tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Ayrıklık (Disjoint) Kavramlarının Teorik İlişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru