Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık
kk bir gerçel sayı olmak üzere,
A=[11k1k1k11]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{bmatrix}
matrisi veriliyor.

Buna göre, k=−2k = -2 değeri için AA matrisinin rankı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. 2Cevap
  4. D
    3
  5. E
    4

Cevap

Matrisin rankı 2'dir.
Verilen k=−2k = -2 değeri matriste yerine konulduğunda elde edilen 3×33 \times 3 boyutundaki matrisin determinantı 0'dır. Bu durum, matrisin rankının boyutundan küçük olduğunu (rank < 3) gösterir. Matrisin içinde yer alan [111−2]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} gibi 2×22 \times 2 boyutundaki minörlerin determinantı (−3-3) sıfırdan farklıdır. Sıfırdan farklı en büyük alt matrisin boyutu 2 olduğu için matrisin rankı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Matriste kk yerine −2-2 yazılır.
A=[11−21−21−211]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
Rank hesaplamasına geçebilmek için öncelikle sayısal matrisin elde edilmesi gerekir.
2
3×33 \times 3 boyutundaki AA matrisinin determinantı hesaplanır.
det⁡(A)=1(−2−1)−1(1−(−2))−2(1−4)=1(−3)−1(3)−2(−3)=−3−3+6=0\det(A) = 1(-2-1) - 1(1-(-2)) - 2(1-4) = 1(-3) - 1(3) - 2(-3) = -3 - 3 + 6 = 0
Determinantın sıfır olması, matrisin tam ranklı olmadığını (rank değerinin 3'ten küçük olduğunu) ve sütun/satır vektörlerinin lineer bağımlı olduğunu gösterir.
3
Matrisin 2×22 \times 2 boyutundaki alt matrislerinin (minörlerinin) determinantları kontrol edilir.
Sol üst köşedeki 2×22 \times 2 minörün determinantı: ∣111−2∣=1(−2)−1(1)=−3≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2) - 1(1) = -3 \neq 0
Sıfırdan farklı determinant değerine sahip en büyük alt kare matrisin boyutu 2 olduğundan, matrisin rankı 2 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Bir matrisin rankı, determinantı sıfırdan farklı olan en büyük alt kare matrisin (minörün) boyutuna eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru