Bir sosyal bilimci, yürüttüğü araştırma kapsamında elde ettiği üç sürekli değişkene ait n … — KPSS İstatistik

Bir sosyal bilimci, yürüttüğü araştırma kapsamında elde ettiği üç sürekli değişkene ait $n$ boyutlu veri setinin yapısını incelemektedir. Merkezselleştirilmiş $X_{n \times 3}$ ( $n > 3$ ) veri matrisinden elde edilen örneklem varyans-kovaryans matrisi $S$ 'nin özdeğerleri $\lambda_1 = 5.2$ , $\lambda_2 = 2.1$ ve $\lambda_3 = 0$ olarak tespit edilmiştir.

Buna göre, varyans-kovaryans matrisinin rankı ve değişkenlerin doğrusal bağımsızlık durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$S$ matrisinin rankı $2$ 'dir ve değişkenler arasında tam bir doğrusal bağımlılık (lineer bağımlılık) bulunmaktadır.Cevap
B
$S$ matrisinin determinantı $7.3$ 'tür ve matris tam ranklı olduğundan değişkenler doğrusal bağımsızdır.
C
$S$ matrisinin izi (trace) $0$ 'dır ve bu durum matrisin rankının $3$ olduğunu gösterir.
D
Sıfırdan büyük en az iki özdeğer bulunduğu için matrisin determinantı pozitiftir ve değişkenler doğrusal bağımsızdır.
E
Değişkenlerin her biri marjinal olarak normal dağılıyorsa, $\lambda_3 = 0$ olmasına rağmen $X$ matrisinin sütunları doğrusal bağımsızdır.

Cevap

Varyans-kovaryans matrisinin rankının

2

olduğu ve değişkenler arasında tam bir doğrusal bağımlılık (lineer bağımlılık) bulunduğu ifade eden seçenektir.

Bir varyans-kovaryans matrisinin (veya simetrik bir matrisin) rankı, sıfırdan farklı özdeğerlerinin sayısına eşittir. Verilen problemde üç özdeğerden ikisi sıfırdan farklı olduğu için matrisin rankı

2

'dir.

3 \times 3

boyutundaki bir matrisin rankının

3

'ten küçük olması, matrisi oluşturan vektörlerin (veri setindeki değişkenlerin) doğrusal bağımlı (lineer bağımlı) olduğunu teorik olarak kesinleştirir. Sıfır olan özdeğer, tam bir doğrusal ilişkinin varlığının matematiksel kanıtıdır.

Adım Adım Çözüm

Varyans-kovaryans matrisinin rankını, verilen özdeğerleri inceleyerek belirle.

Sıfırdan farklı olan özdeğerler

\lambda_1 = 5.2

\lambda_2 = 2.1

'dir. Toplamda iki adet sıfırdan farklı özdeğer bulunduğundan

\text{rank}(S) = 2

olarak bulunur.

Simetrik bir matrisin rankı, daima sıfırdan farklı özdeğerlerinin sayısına eşittir.

Bulunan rank değeri ile değişken sayısı arasındaki ilişkiyi yorumla.

Matrisin boyutu

3 \times 3

olmasına rağmen rankı

2

'dir (

\text{rank} < p

). Bu durum matrisin singüler (tekil) olduğunu gösterir.

Tam ranklı olmayan matrislerde satırlar veya sütunlar arasında mutlaka tam bir doğrusal ilişki bulunur.

Doğrusal bağımsızlık durumunu değerlendir.

Değişken sayısı olan 3'ten daha düşük bir ranka sahip olunduğu için, değişkenlerin (sütun vektörlerinin) doğrusal bağımlı olduğuna kesin olarak karar verilir.

Lineer cebir kurallarına göre, eğer rank sütun sayısından küçükse sütun vektörleri doğrusal bağımsız olamaz; en az bir vektör diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonudur.

Anahtar Kavram

Özdeğerler üzerinden matrisin rankının bulunması ve tam ranklı olmayan matrislerin doğrusal bağımlılık özelliğinin yorumlanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru