Examkin

Soru

Zorluk: ZorMatrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, X=[X1X2X3]T\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 & X_2 & X_3 \end{bmatrix}^T rassal vektörünün varyans-kovaryans matrisi olan ΣX\boldsymbol{\Sigma_X}'in pozitif tanımlı (tam ranklı) olduğu bilinmektedir.

Bu değişkenlerin doğrusal kombinasyonları kullanılarak yeni bir Y=[Y1Y2Y3]T\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} Y_1 & Y_2 & Y_3 \end{bmatrix}^T rassal vektörü aşağıdaki gibi oluşturulmuştur:
Y1=X1+2X2−X3Y_1 = X_1 + 2X_2 - X_3
Y2=2X1−X2+X3Y_2 = 2X_1 - X_2 + X_3
Y3=4X1+3X2+aX3Y_3 = 4X_1 + 3X_2 + aX_3

Bu dönüşüm Y=CX\mathbf{Y} = \mathbf{C}\mathbf{X} şeklinde ifade edildiğinde, elde edilen Y\mathbf{Y} vektörünün varyans-kovaryans matrisi olan ΣY\boldsymbol{\Sigma_Y}'nin tam ranklı olmadığı (singüler olduğu) tespit edilmiştir.

Buna göre, aa sabiti kaçtır?

  1. A
    -2
  2. -1Cevap
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    2

Cevap

Doğru cevap, aa sabitinin -1 olduğunu ifade eden seçenektir.
Yeni rassal vektörün varyans-kovaryans matrisi ΣY=CΣXCT\boldsymbol{\Sigma_Y} = \mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma_X}\mathbf{C}^T formülüyle hesaplanır. Orijinal matris ΣX\boldsymbol{\Sigma_X} pozitif tanımlı olduğuna göre, ΣY\boldsymbol{\Sigma_Y}'nin singüler (tam ranklı olmayan) bir matris çıkması ancak C\mathbf{C} dönüşüm matrisinin singüler olmasıyla, yani ∣C∣=0|\mathbf{C}| = 0 olmasıyla mümkündür. Determinant hesabı yapıldığında −5a−5=0-5a - 5 = 0 denklemi ortaya çıkar ve buradan a=−1a = -1 sonucu elde edilir. Bu durum, üçüncü değişkenin (Y3Y_3), ilk iki değişkenin doğrusal bir kombinasyonu (Y3=2Y1+Y2Y_3 = 2Y_1 + Y_2) olmasıyla doğrudan uyumludur.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm matrisi olan C\mathbf{C} matrisini denklemlerden oluşturmak.
Katsayılar kullanılarak C=[12−12−1143a]\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & a \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Varyans-kovaryans matrisinin doğrusal dönüşüm formülü ΣY=CΣXCT\boldsymbol{\Sigma_Y} = \mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma_X}\mathbf{C}^T şeklindedir ve rank analizi için C\mathbf{C} matrisine ihtiyaç vardır.
2
ΣY\boldsymbol{\Sigma_Y} matrisinin singüler olma şartını belirlemek.
∣ΣY∣=∣C∣2∣ΣX∣=0|\boldsymbol{\Sigma_Y}| = |\mathbf{C}|^2 |\boldsymbol{\Sigma_X}| = 0 olmalıdır. ΣX\boldsymbol{\Sigma_X} tam ranklı (pozitif tanımlı) olduğundan ∣ΣX∣>0|\boldsymbol{\Sigma_X}| > 0'dır. Dolayısıyla ∣C∣=0|\mathbf{C}| = 0 olmak zorundadır.
Bir matrisin tam ranklı olmaması (singüler olması), vektörlerinin lineer bağımlı olduğu ve determinantının sıfır olduğu anlamına gelir.
3
C\mathbf{C} matrisinin determinantını hesaplamak ve sıfıra eşitlemek.
∣C∣=1(−a−3)−2(2a−4)−1(6−(−4))=−a−3−4a+8−10=−5a−5|\mathbf{C}| = 1(-a - 3) - 2(2a - 4) - 1(6 - (-4)) = -a - 3 - 4a + 8 - 10 = -5a - 5. Buradan −5a−5=0  ⟹  a=−1-5a - 5 = 0 \implies a = -1 bulunur.
Sistemin singülerliğini (doğrusal bağımlılığını) sağlayan aa parametresini çözmek için determinant denklemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Varyans-Kovaryans Matrisinde Lineer Bağımsızlık ve Rank

Alternatif Yöntem

Determinant hesaplamak yerine, vektörlerin doğrusal bağımlı olma şartından yola çıkılabilir. Satır vektörleri arasında k1R1+k2R2=R3k_1 R_1 + k_2 R_2 = R_3 ilişkisi arandığında; ilk elemanlar için k1(1)+k2(2)=4k_1(1) + k_2(2) = 4 ve ikinci elemanlar için k1(2)+k2(−1)=3k_1(2) + k_2(-1) = 3 denklemleri çözülürse k1=2k_1 = 2 ve k2=1k_2 = 1 bulunur. Bu katsayılar üçüncü sütun için uygulandığında 2(−1)+1(1)=a  ⟹  a=−12(-1) + 1(1) = a \implies a = -1 doğrudan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık