Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık

Çok değişkenli bir istatistiksel analiz çalışmasında n=150n=150 gözlem ve p=4p=4 değişkene (X1,X2,X3,X4X_1, X_2, X_3, X_4) ait veriler toplanmış ve 150×4150 \times 4 boyutlu bir X\mathbf{X} veri matrisi elde edilmiştir. Değişkenler arası ilişkiler incelendiğinde, gözlemlerin tamamı için X4=2X1−X2+3X3X_4 = 2X_1 - X_2 + 3X_3 şeklinde tam bir doğrusal bağıntı olduğu ve diğer üç değişkenin kendi içinde lineer bağımsız olduğu saptanmıştır.

Buna göre, 4×44 \times 4 boyutundaki XTX\mathbf{X}^T \mathbf{X} (kareler ve çarpımlar toplamı) matrisinin rankı ve determinantı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. Rankı 33'tür ve determinantı 00'dır.Cevap
  2. B
    Rankı 44'tür ve determinantı sıfırdan farklıdır.
  3. C
    Rankı 33'tür ve determinantı sıfırdan farklıdır.
  4. D
    Rankı 44'tür ve determinantı 00'dır.
  5. E
    Rankı 11'dir ve determinantı matrisin izine eşittir.

Cevap

Doğru seçenek, kareler ve çarpımlar toplamı matrisinin rankının 33 ve determinantının 00 olduğunu belirten seçenektir.
Soruda verilen X4=2X1−X2+3X3X_4 = 2X_1 - X_2 + 3X_3 eşitliği, değişkenler arasında tam bir çoklu doğrusal bağlantı olduğunu ifade eder. p=4p=4 değişkenden sadece 33'ü kendi arasında lineer bağımsızdır, bu sebeple X\mathbf{X} matrisinin rankı 33 olur. Kural gereği Rank(XTX)=Rank(X)\text{Rank}(\mathbf{X}^T \mathbf{X}) = \text{Rank}(\mathbf{X}) olduğundan, kareler ve çarpımlar matrisinin de rankı 33'tür. Ancak XTX\mathbf{X}^T \mathbf{X} matrisi 4×44 \times 4 boyutunda kare bir matristir. Bir kare matrisin rankı satır/sütun sayısından küçükse, o matris tekil (singular) matristir ve özelliklerinden dolayı determinantı mecburen 00 değerini alır.

Adım Adım Çözüm

1
Matristeki doğrusal bağımsız değişken sayısını belirleyerek orijinal matrisin rankını hesaplamak.
Veri setinde toplam 44 değişken vardır ancak bunlardan biri (X4X_4) diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonudur. Bağımsız değişken sayısı 4−1=34 - 1 = 3 olduğundan, X\mathbf{X} veri matrisinin rankı 33'tür.
Bir matrisin rankı, birbirinin doğrusal birleşimi şeklinde yazılamayan maksimum lineer bağımsız sütun (veya satır) sayısına eşittir.
2
Kareler ve çarpımlar toplamı matrisinin (XTX\mathbf{X}^T \mathbf{X}) rankını bulmak.
Temel cebir kuralına göre Rank(X)=Rank(XTX)\text{Rank}(\mathbf{X}) = \text{Rank}(\mathbf{X}^T \mathbf{X}) eşitliği geçerlidir. Bu nedenle XTX\mathbf{X}^T \mathbf{X} matrisinin rankı da 33'tür.
Orijinal veri matrisinin rankı ile, devriğiyle çarpılması sonucu elde edilen matrisin rankı değişmez ve birbirine denktir.
3
Rankı bulunan kare matrisin determinantını değerlendirmek.
XTX\mathbf{X}^T \mathbf{X} matrisi 4×44 \times 4 boyutunda bir kare matristir. Rankı (33), boyutundan (44) küçük olduğu için bu matris tam ranklı değildir (tekil/singular matristir). Dolayısıyla determinantı 00'dır.
Herhangi bir kare matrisin determinantının sıfırdan farklı olabilmesi için tam ranklı (rank = matrisin boyutu) olması gereklidir.

Anahtar Kavram

Sütun vektörleri arasındaki tam doğrusal bağımlılığın (multicollinearity) veri matrisinin rankını düşürmesi ve rankı boyutundan eksik olan tekil (singular) kare matrislerin determinantının her zaman sıfır olması.
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru