Examkin

Soru

Zorluk: ZorMatrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık
Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, değişkenler arasındaki çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) problemi veri matrisinin rankı incelenerek teşhis edilebilir. Üç farklı değişkene ait dört gözlem değeri içeren merkezselleştirilmiş XX veri matrisinin sütun vektörleri sırasıyla v1,v2v_1, v_2 ve v3v_3 olmak üzere;
v1=[1−121],v2=[311−1],v3=[−1β33]v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ \beta \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}
şeklinde tanımlanmıştır.

Bu değişkenler arasında tam bir doğrusal bağıntı bulunduğu ve XTXX^T X çarpım matrisinin tersinin alınamadığı (tekil olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, β\beta parametresinin değeri ve XTXX^T X matrisinin rankı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. β=−3\beta = -3, Rank(XTX)=2\text{Rank}(X^T X) = 2Cevap
  2. B
    β=−3\beta = -3, Rank(XTX)=3\text{Rank}(X^T X) = 3
  3. C
    β=3\beta = 3, Rank(XTX)=2\text{Rank}(X^T X) = 2
  4. D
    β=−3\beta = -3, Rank(XTX)=1\text{Rank}(X^T X) = 1
  5. E
    β=0\beta = 0, Rank(XTX)=0\text{Rank}(X^T X) = 0

Cevap

β=−3\beta = -3 ve Rank(XTX)=2\text{Rank}(X^T X) = 2 değerlerini içeren seçenektir.
Verilen bilgiler ışığında v3v_3 vektörü, v1v_1 ve v2v_2'nin doğrusal birleşimidir (v3=2v1−v2v_3 = 2v_1 - v_2). Bu birleşimden yola çıkılarak 2. bileşen olan β\beta değeri −3-3 olarak hesaplanır. Ayrıca XX matrisinde birbirinin katı olmayan tam 2 adet doğrusal bağımsız sütun (v1,v2v_1, v_2) bulunduğu için Rank(XX)=2'dir. Kuramsal olarak Rank(XTXX^T X) = Rank(XX) olduğundan, 3×33 \times 3 boyutlu çarpım matrisinin rankı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
XX matrisinin sütun vektörleri arasındaki doğrusal bağıntı denklemini kurmak.
v3=c1v1+c2v2v_3 = c_1 v_1 + c_2 v_2 eşitliği yazılır.
Değişkenler arasında tam bir doğrusal bağıntı olduğu belirtilmiştir. v1v_1 ve v2v_2 vektörleri birbiriyle orantılı olmadığından doğrusal bağımsızdır. Bu durum, v3v_3 vektörünün diğer ikisinin doğrusal bir kombinasyonu olmasını zorunlu kılar.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek c1c_1 ve c2c_2 katsayılarını bulmak.
3. satırdan 2c1+c2=32c_1 + c_2 = 3 ve 4. satırdan c1−c2=3c_1 - c_2 = 3 denklemleri elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 3c1=6⇒c1=23c_1 = 6 \Rightarrow c_1 = 2 ve 2−c2=3⇒c2=−12 - c_2 = 3 \Rightarrow c_2 = -1 bulunur.
Vektörlerin bilinen bileşenleri kullanılarak bilinmeyen katsayılar hesaplanır. 1. satır için 1(2)+3(−1)=−11(2) + 3(-1) = -1 kontrolü yapıldığında sonucun sağlandığı görülür.
3
β\beta parametresini hesaplamak.
2. satır denkleminden −1(c1)+1(c2)=β-1(c_1) + 1(c_2) = \beta yazılır. c1=2c_1=2 ve c2=−1c_2=-1 yerlerine konduğunda −2−1=−3-2 - 1 = -3 bulunur. Böylece β=−3\beta = -3'tür.
Bulunan katsayılar, içinde bilinmeyen β\beta parametresini barındıran satırda yerine konularak parametrenin gerçek değeri elde edilir.
4
XTXX^T X matrisinin rankını belirlemek.
v1v_1 ve v2v_2 doğrusal bağımsız olduğundan XX matrisinin sütun uzayının boyutu 2'dir (Rank(XX) = 2). Gerçel matrislerde Rank(XTX)=Rank(X)\text{Rank}(X^T X) = \text{Rank}(X) özelliği gereğince Rank(XTX)=2\text{Rank}(X^T X) = 2 bulunur.
Kare olmayan bir veri matrisinde çarpım matrisinin (XTXX^T X) rankı, orijinal matrisin (XX) rankına eşittir ve bu rank da doğrusal bağımsız sütun sayısına karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Matrislerde Rank, Doğrusal Bağımsızlık ve XTXX^T X Matrisinin Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık