Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı uzmanları, bir sanayi bölgesindeki günlük… — KPSS İstatistik

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı uzmanları, bir sanayi bölgesindeki günlük ortalama PM10 (partikül madde) emisyon miktarının kitle ortalamasını ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitle varyansı bilinmemekte ve emisyon miktarlarının normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Rastgele seçilen $n=16$ günlük ölçüm sonucunda, örneklem ortalaması $\bar{x} = 45 \text{ } \mu\text{g/m}^3$ ve örneklem standart sapması $s = 8 \text{ } \mu\text{g/m}^3$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, günlük ortalama PM10 emisyon miktarı için $\%95$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?
(Tablo değerleri: $Z_{0.025} = 1.960$ , $t_{0.025; 15} = 2.131$ , $t_{0.025; 16} = 2.120$ )

$(40.738, 49.262)$ Cevap
B
$(41.080, 48.920)$
C
$(40.760, 49.240)$
D
$(27.952, 62.048)$
E
$(29.320, 60.680)$

Cevap

Doğru aralık tahmini

(40.738, 49.262)

olmalıdır. Kitle varyansı bilinmediğinden ve örneklem çapı küçük olduğundan Student's T dağılımı kullanılmıştır.

Verilen soruda kitle varyansı bilinmemektedir ve örneklem hacmi (

n=16

) 30'dan küçüktür. Bu durumda güven aralığı oluşturulurken Student's T dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

olduğu için

\%95

güven düzeyindeki kritik değer

t_{0.025; 15} = 2.131

'dir. Standart hata

8 / \sqrt{16} = 2

olarak bulunur.

\bar{x} \pm t \cdot (s/\sqrt{n})

formülü kullanıldığında;

45 \pm (2.131 \times 2)

işlemi yapılarak alt sınır

40.738

ve üst sınır

49.262

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen değerlerin ve kullanılacak test istatistiğinin (dağılımın) belirlenmesi

n=16

\bar{x}=45

s=8

. Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediğinden ve örneklem çapı küçük (

n<30

) olduğundan aralık tahmininde Student's T dağılımı kullanılmalıdır.

Varyansı bilinmeyen normal kitlelerden çekilen küçük örneklemlerde pivot fonksiyonu Z (Normal) değil, T dağılımına uyar.

Serbestlik derecesi ve uygun tablo kritik değerinin bulunması

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 15

'tir.

\%95

güven düzeyi için çift yönlü testte

\alpha = 0.05

olur. Tablo değeri

t_{0.025; 15} = 2.131

seçilir.

T dağılımının şekli örneklem çapına bağlı olduğu için serbestlik derecesi (

n-1

) dikkate alınarak doğru alan (

0.025

) seçilmelidir.

Standart hata (SH) ve güven aralığı hata payının (E) hesaplanması

Standart Hata =

s / \sqrt{n} = 8 / \sqrt{16} = 8 / 4 = 2

. Hata payı (

E

) =

2.131 \times 2 = 4.262

Örneklem ortalamasının standart sapması olan standart hata, güven sınırlarını kitle ortalamasına ne kadar mesafede çizeceğimizi belirler.

Güven aralığı alt ve üst sınırlarının elde edilmesi

Alt sınır:

45 - 4.262 = 40.738

, Üst sınır:

45 + 4.262 = 49.262

. Güven aralığı:

(40.738, 49.262)

Kitle ortalaması tahmini

\bar{x} \pm E

formülü ile kurulur.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen kitle varyansı ve küçük örneklem boyutlarında tek kitle ortalaması için T dağılımı ile güven aralığı yapılandırılması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru