Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, üç farklı sanayi bölgesindeki (A: Ağır Sanayi, B: İmalat, C… — KPSS İstatistik

Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, üç farklı sanayi bölgesindeki (A: Ağır Sanayi, B: İmalat, C: Hafif Sanayi) fabrikaların günlük su tüketim miktarlarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır. Bu bölgelere ilişkin kitle hacimleri ( $N_h$ ), standart sapmalar ( $S_h$ ) ve bir birimlik gözlemin maliyeti ( $c_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bölge	$N_h$	$S_h$	$c_h$ (TL)
A	100	20	100
B	300	10	25
C	600	5	4

Araştırmacı, değişken örneklem maliyetleri için ayrılan toplam 3.280 TL'lik bütçenin tamamını kullanarak, maliyet-optimum (Optimum) dağıtım yöntemiyle örneklem hacmini tabakalara dağıtmış ve genel örneklem hacmini ( $n$ ) belirlemiştir.

Eğer araştırmacı birim maliyetlerdeki farklılıkları göz ardı ederek, elde ettiği **aynı genel örneklem hacmini ( $n$ )** sadece tabaka büyüklükleri ve varyansları dikkate alan Neyman dağıtımı ile tabakalara dağıtsaydı, B bölgesinden seçilecek örneklem hacmi ( $n_B$ ) ilk duruma göre nasıl değişirdi?

A
7 artar
B
9 artar
C
21 azalır
21 artarCevap
E
69 artar

Cevap

B bölgesinden seçilecek örneklem hacmi ilk duruma göre 21 artar.

Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle Optimum dağıtımda sabit bütçe kısıtı formülü

n = [C \cdot \sum(N_h S_h / \sqrt{c_h})] / \sum(N_h S_h \sqrt{c_h})

kullanılarak toplam örneklem hacmi

n = 184

olarak hesaplanmalıdır. Bu dağıtımda B tabakasının payı

600 / 2300

'dür ve

n_B = 48

bulunur. Maliyetler göz ardı edilip aynı

n=184

için sadece

N_h S_h

ağırlıklarına bakılan Neyman dağıtımında ise B tabakasının payı

3000 / 8000

'dir ve

n_B = 69

olarak bulunur. Aradaki değişim

69 - 48 = 21

birimlik bir artıştır.

Adım Adım Çözüm

Optimum dağıtım için gerekli olan

N_h S_h / \sqrt{c_h}

N_h S_h \sqrt{c_h}

değerlerini hesaplayın.

A için:

100 \times 20 / 10 = 200

100 \times 20 \times 10 = 20000

B için:

300 \times 10 / 5 = 600

300 \times 10 \times 5 = 15000

C için:

600 \times 5 / 2 = 1500

600 \times 5 \times 2 = 6000

Toplam

N_h S_h / \sqrt{c_h} = 2300

Toplam

N_h S_h \sqrt{c_h} = 41000

Sabit bütçe kısıtı altında toplam örneklem hacmini bulmak için bu iki toplama ihtiyaç vardır.

Verilen 3280 TL bütçe (

C

) ile toplam örneklem hacmini (

n

) hesaplayın.

n = \frac{C \times \sum (N_h S_h / \sqrt{c_h})}{\sum (N_h S_h \sqrt{c_h})} = \frac{3280 \times 2300}{41000} = \frac{328 \times 23}{41} = 8 \times 23 = 184

Neyman dağıtımında kullanacağımız ortak

n

değerini bulmak gerekmektedir.

Optimum dağıtım formülü ile B tabakasından alınacak örneklem hacmini (

n_B

) bulun.

n_B^{(Optimum)} = n \times \frac{N_B S_B / \sqrt{c_B}}{\sum N_h S_h / \sqrt{c_h}} = 184 \times \frac{600}{2300} = 184 \times \frac{6}{23} = 48

Maliyetleri hesaba katan dağıtımdaki payını belirlemek için gereklidir.

Neyman dağıtımı için gerekli olan

N_h S_h

çarpımlarını hesaplayın ve B tabakası için yeni hacmi (

n_B

) bulun.

N_A S_A = 2000

N_B S_B = 3000

N_C S_C = 3000

. Toplam = 8000.

n_B^{(Neyman)} = 184 \times \frac{3000}{8000} = 184 \times \frac{3}{8} = 69

Maliyetler göz ardı edildiğinde varyans ve hacmin getirdiği yeni payı hesaplamak için gereklidir.

İki dağıtım arasındaki

n_B

farkını hesaplayın.

69 - 48 = +21

(21 artar)

Soru bizden maliyet kısıtı kalktığında örneklem büyüklüğündeki değişimi istemektedir.

Anahtar Kavram

Optimum Dağıtım ve Neyman Dağıtımı Arasındaki Matematiksel ve Kavramsal Farklar

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru