Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t (\epsilon_t \sim \text{BN}(0, \sigma^2)) şeklinde tanımlanan sa… — KPSS İstatistik

$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$ ( $\epsilon_t \sim \text{BN}(0, \sigma^2)$ ) şeklinde tanımlanan sabitsiz rassal yürüyüş (random walk without drift) süreci için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sürecin varyansı zamana bağlıdır ve $Var(Y_t) = t \sigma^2$ şeklinde zamanla doğrusal olarak artar.Cevap
B
Sürecin beklenen değeri zamanın doğrusal bir fonksiyonu olup $E[Y_t] = \delta t$ şeklinde ifade edilir.
C
Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) birinci gecikmeden sonra kesilerek sıfıra düşer.
D
Sürecin otoregresif katsayısı 1 olduğu için varyans sonlu ve sabittir.
E
Sürecin beklenen değeri başlangıç değerinde ( $Y_0$ ) sabit kaldığı için süreç zayıf durağandır.

Cevap

Sabitsiz rassal yürüyüş modelinde varyans zamana bağlı olarak

Var(Y_t) = t \sigma^2

formülüyle doğrusal olarak artar.

Sabitsiz rassal yürüyüş modelinde

Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t

denkleminde otoregresif katsayı tam olarak 1'dir. Bu durum sürecin birim köke sahip olduğunu ve varyansının

Var(Y_t) = t \sigma^2

şeklinde zamanla arttığını gösterir. Varyansın zamanın bir fonksiyonu olması sürecin durağan olmadığını kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Sürecin ardışık yerine koyma yöntemiyle hata terimleri cinsinden ifadesini bulma

Y_t = Y_0 + \sum_{i=1}^t \epsilon_i

Varyans ve beklenen değer hesaplamaları için sürecin geçmişteki tüm şokların toplamı olduğunu görmek gerekir.

Varyans operatörünü eşitliğin her iki tarafına uygulama

Var(Y_t) = Var(Y_0 + \epsilon_1 + \epsilon_2 + ... + \epsilon_t) = 0 + \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2 = t \sigma^2

Başlangıç değeri sabit olduğu için varyansı sıfırdır ve hata terimleri bağımsız olduğundan varyansları toplanır.

Anahtar Kavram

Birim köklü süreçlerde varyansın zamana bağlılığı (stokastik trend).

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular