Y_0 sabit bir başlangıç değeri ve \{\epsilon_t\} varyansı \sigma^2 olan bir beyaz gürültü … — KPSS İstatistik

$Y_0$ sabit bir başlangıç değeri ve $\{\epsilon_t\}$ varyansı $\sigma^2$ olan bir beyaz gürültü (white noise) süreci olmak üzere, $Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$ denklemi ile tanımlanan sabitsiz rassal yürüyüş (random walk without drift) modeli için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
Sürecin varyansı zamandan bağımsız olup her $t$ anında $\sigma^2$ değerine eşittir.
B
Otokorelasyon fonksiyonu (ACF), gecikme sayısı arttıkça geometrik bir hızla sönümlenerek sıfıra yaklaşır.
C
Sürecin beklenen değeri zamanın bir fonksiyonu olup $E(Y_t) = Y_0 + t \cdot \mu$ şeklinde hesaplanır.
Sürecin varyansı zamanın bir fonksiyonudur ve $Var(Y_t) = t \cdot \sigma^2$ formülü ile ifade edilir.Cevap
E
Süreç deterministik bir trende sahip olduğu için trendden arındırma (detrending) yöntemiyle durağanlaştırılabilir.

Cevap

Sabitsiz rassal yürüyüş modelinde varyans zamanın bir fonksiyonudur ve

Var(Y_t) = t \cdot \sigma^2

olarak hesaplanır.

Sabitsiz rassal yürüyüş modelinin matematiksel açılımı yapıldığında, sürecin geçmiş tüm şokların toplamından oluştuğu görülür. Bağımsız hata terimlerinin varyanslarının toplamı kuralı gereği,

t

adet hata teriminin toplam varyansı

t \cdot \sigma^2

olur ve bu da varyansın zamana bağlı olarak arttığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

Modeli ardışık yerine koyma yöntemiyle başlangıç değerine kadar açın.

Y_t = Y_0 + \epsilon_t + \epsilon_{t-1} + ... + \epsilon_1 = Y_0 + \sum_{i=1}^t \epsilon_i

Sürecin geçmişteki tüm şokların kümülatif toplamı olduğunu görmek için gereklidir.

Elde edilen ifadenin beklenen değerini hesaplayın.

E(Y_t) = E(Y_0 + \sum \epsilon_i) = Y_0 + \sum E(\epsilon_i) = Y_0

Hata terimlerinin beklenen değeri sıfır olduğu için beklenen değer başlangıç değerine eşit çıkar.

Elde edilen ifadenin varyansını hesaplayın.

Var(Y_t) = Var(Y_0 + \sum \epsilon_i) = \sum Var(\epsilon_i) = t \cdot \sigma^2

Hata terimleri bağımsız ve aynı dağılıma (iid) sahip olduğu için varyanslar toplanır ve zamanla doğru orantılı bir artış gösterir.

Varyansın zamana bağlılığını yorumlayın.

Varyans sabit değildir (

Var(Y_t) \neq \sigma^2

), dolayısıyla süreç durağan değildir.

Durağanlık için ortalama ve varyansın zaman boyunca sabit kalması gerekir.

Anahtar Kavram

Sabitsiz rassal yürüyüş modelleri stokastik bir trende sahiptir; bu süreçlerin varyansı zamanla artar ve bu durum onları durağan olmayan süreçler sınıfına sokar.

İpuçları

Modeli

Y_t = \epsilon_t + \epsilon_{t-1} + ... + Y_0

şeklinde açarak varyans hesaplamayı deneyin.

Bağımsız hata terimlerinin toplamının varyansı, her bir terimin varyansının toplamına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Bu sürece bir sabit terim (drift) eklendiğinde beklenen değerin ve varyansın nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru