Examkin

Soru

Zorluk: KolayDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Bir laboratuvar deneyinde, hassas bir termometrenin ölçüm hatası XX (derece cinsinden), (−2,2)(-2, 2) aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip sürekli bir rastgele değişkendir. Deneyin hata maliyeti Y=X2Y = X^2 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, 0<y<40 < y < 4 aralığı için YY değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu FY(y)F_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. FY(y)=y2F_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{2}Cevap
  2. B
    FY(y)=y+24F_Y(y) = \frac{\sqrt{y} + 2}{4}
  3. C
    FY(y)=yF_Y(y) = \sqrt{y}
  4. D
    FY(y)=y4F_Y(y) = \frac{y}{4}
  5. E
    FY(y)=y216F_Y(y) = \frac{y^2}{16}

Cevap

Kök y bölü 2 (FY(y)=y2F_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{2})
Doğru yanıt olan kök y bölü 2 ifadesi, XX değişkeninin hem negatif hem de pozitif bölgelerdeki yoğunluğunu dikkate alan birikimli dağılım fonksiyonu tanımına dayanmaktadır. X2≤yX^2 \leq y eşitsizliği simetrik bir aralık tanımlar ve bu aralık integral ile toplandığında sonuç y2\frac{\sqrt{y}}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) tanımla.
fX(x)=12−(−2)=14,−2<x<2f_X(x) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{4}, \quad -2 < x < 2
XX değişkeni (−2,2)(-2, 2) aralığında düzgün dağılıma sahiptir.
2
YY değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) olasılık cinsinden ifade et.
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)
Birikimli dağılım fonksiyonunun temel tanımı gereği.
3
X2≤yX^2 \leq y eşitsizliğini XX cinsinden çöz.
−y≤X≤y-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}
Karesi yy'den küçük veya eşit olan XX değerleri, −y-\sqrt{y} ile y\sqrt{y} aralığındadır.
4
Elde edilen aralığı XX'in PDF'i üzerinden integre et.
FY(y)=∫−yy14dx=[x4]−yy=y4−(−y4)=2y4=y2F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{4} dx = \left[ \frac{x}{4} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{4} - \left( -\frac{\sqrt{y}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{y}}{4} = \frac{\sqrt{y}}{2}
0<y<40 < y < 4 aralığı için −y-\sqrt{y} ve y\sqrt{y} değerleri (−2,2)(-2, 2) tanım kümesi içindedir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemi ile rastgele değişken dönüşümü yaparken, eşitsizlik bölgesinin tüm tanım kümesini kapsaması ve mutlak değer içeren bölgelerin (karesel dönüşümler gibi) doğru ayrıştırılması esastır.
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi