Bir tarım araştırma enstitüsünde, belirli bir tohum türünün çimlenme başarısını incelemek … — KPSS İstatistik

Bir tarım araştırma enstitüsünde, belirli bir tohum türünün çimlenme başarısını incelemek amacıyla $5$ tohum bağımsız olarak test edilmiştir. Her bir tohumun çimlenme durumu $X_i \sim Bernoulli(p)$ dağılımına uymaktadır ( $i=1,2,3,4,5$ olmak üzere, tohum çimlendiyse $X_i=1$ , çimlenmediyse $X_i=0$ ).

Bilinmeyen $p$ parametresini (çimlenme olasılığı) tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5}{5}

T_2 = \frac{2X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + 2X_5}{7}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ ve $T_1$ tahmin edicisinin mutlak etkinliği sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{49}{55}$ ve $1$
B
$\frac{55}{49}$ ve $\frac{49}{55}$
$\frac{55}{49}$ ve $1$ Cevap
D
$\frac{49}{55}$ ve $\frac{49}{55}$
E
$\frac{55}{49}$ ve $5$

Cevap

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliği

\frac{55}{49}

ve mutlak etkinliği

1

'dir.

T_1

T_2

tahmin edicilerinin varyansları sırasıyla

p(1-p)/5

11p(1-p)/49

olarak hesaplanır. Göreli etkinlik

Var(T_2)/Var(T_1)

oranıyla

\frac{55}{49}

bulunur.

n=5

çaplı Bernoulli örneklemi için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB)

p(1-p)/5

'tir.

T_1

'in varyansı CRLB'ye eşit olduğu için mutlak etkinliği

1

'dir.

Adım Adım Çözüm

T_1

T_2

tahmin edicilerinin varyanslarını hesaplamak

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{5}

Var(T_2) = \frac{11p(1-p)}{49}

Göreli etkinlik, tahmin edicilerin varyanslarının oranına bağlıdır.

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliğini bulmak

RE(T_1, T_2) = \frac{11p(1-p)/49}{p(1-p)/5} = \frac{55}{49}

Göreli etkinlik, istenen varyans oranı formülü (

Var(T_2)/Var(T_1)

) ile elde edilir.

Bernoulli dağılımı için Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesaplamak

n=5

için Fisher bilgi miktarı

I_n(p) = \frac{5}{p(1-p)}

CRLB = \frac{p(1-p)}{5}

Mutlak etkinliği bulmak için teorik minimum varyans olan Cramer-Rao Alt Sınırı gereklidir.

T_1

'in mutlak etkinliğini bulmak

Mutlak Etkinlik =

\frac{CRLB}{Var(T_1)} = \frac{p(1-p)/5}{p(1-p)/5} = 1

Mutlak etkinlik, Cramer-Rao Alt Sınırının ilgili tahmin edicinin varyansına oranıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Göreli Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru