Kültür ve Turizm Bakanlığı, üç farklı turizm bölgesindeki (1. Bölge: Kıyı, 2. Bölge: Kültü… — KPSS İstatistik

Kültür ve Turizm Bakanlığı, üç farklı turizm bölgesindeki (1. Bölge: Kıyı, 2. Bölge: Kültür, 3. Bölge: Kış) konaklama tesislerinin hizmet kalitesi puanlarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır.

Bölgelerdeki tesis sayıları ( $N_h$ ) ve kalite puanlarının varyansları ( $S_h^2$ ) birbirine eşit kabul edilmektedir. Ancak tesislerin coğrafi dağınıklığı nedeniyle bir birimden veri toplamanın maliyeti ( $c_h$ ) bölgelere göre farklılık göstermektedir. Birim maliyetler sırasıyla; 1. Bölge için $100\text{ TL}$ , 2. Bölge için $400\text{ TL}$ ve 3. Bölge için $900\text{ TL}$ olarak belirlenmiştir.

Bakanlık, belirlenen bir bütçe kısıtı altında örneklem ortalamasının varyansını en küçük yapacak şekilde optimum dağıtım yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Toplam $3234$ tesislik bir örneklem seçileceğine göre, 3. Bölge'den (Kış) seçilmesi gereken örneklem hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

A
264
588Cevap
C
1078
D
1617
E
2079

Cevap

Optimum dağıtım formülü doğru şekilde uygulandığında 3. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi 588'dir.

Optimum dağıtımda, her bir tabakadan alınacak örneklem hacmi (

n_h

), tabaka hacmi (

N_h

) ve tabaka standart sapması (

S_h

) ile doğru; veri toplama birim maliyetinin karekökü (

\sqrt{c_h}

) ile ters orantılıdır. Soru kökünde

N_h

S_h

değerlerinin tüm bölgelerde eşit olduğu belirtilmiştir. Bu durumda örneklem hacmi yalnızca maliyetlerin karekökü ile ters orantılı olarak dağıtılacaktır. Kış bölgesinin maliyeti en yüksek (

900\text{ TL}

) olduğundan karekökü

30

'dur. Toplam pay oranlaması yapıldığında, Kış bölgesine düşen pay tüm örneklemin

2/11

'i kadar olmaktadır. Toplam

3234

birimlik örneklemin

2/11

'i hesaplandığında doğru hacim

588

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Tabakalı örneklemede maliyetlerin farklı olduğu optimum dağıtım modelinin temel formülünü hatırlayın.

n_h = n \frac{N_h S_h / \sqrt{c_h}}{\sum (N_h S_h / \sqrt{c_h})}

formülü kullanılır.

Varyansı minimum yapan optimum dağıtımda her tabakaya düşen örneklem payı

N_h

S_h

1/\sqrt{c_h}

değerlerinin çarpımıyla orantılıdır.

Soru metnindeki eşitlik durumlarını (

N_h

S_h

eşit ) formülde sadeleştirin.

Formül

n_h = n \frac{1 / \sqrt{c_h}}{\sum (1 / \sqrt{c_h})}

haline gelir.

Tüm tabakalar için

N_h

S_h

aynı olduğundan, pay ve paydadaki bu terimler birbirini götürür.

Her tabaka için birim maliyetlerin karekökünü (

\sqrt{c_h}

) ve bu değerlerin tersini (

1/\sqrt{c_h}

) hesaplayın.

1. Bölge:

\sqrt{100}=10 \Rightarrow 1/10

, 2. Bölge:

\sqrt{400}=20 \Rightarrow 1/20

, 3. Bölge:

\sqrt{900}=30 \Rightarrow 1/30

Dağıtım ağırlıklarını bulmak için maliyetlerin karekökleriyle ters orantılı paylar elde edilmelidir.

Hesaplanan ters oranların toplamını bularak, 3. Bölge'nin toplam içindeki payını belirleyin.

Toplam ağırlık:

1/10 + 1/20 + 1/30 = 6/60 + 3/60 + 2/60 = 11/60

. 3. Bölge'nin payı:

\frac{2/60}{11/60} = \frac{2}{11}

Toplam örneklemin ne kadarlık kısmının 3. Bölge'ye (Kış bölgesi) ayrılacağını oranlamak için gereklidir.

Toplam örneklem hacmini (

n=3234

), 3. Bölge için bulunan oran (

2/11

) ile çarpın.

n_3 = 3234 \times \frac{2}{11} = 294 \times 2 = 588

Oransal pay ile toplam hacim çarpılarak hedeflenen tabakanın örneklem büyüklüğüne ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Optimum Dağıtım (Maliyet Kısıtı Altında)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru